[論文レビュー] Cauchy problem for dissipative Hölder solutions to the incompressible Euler equations

Sara Daneri|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元トーラス上における非圧縮性Euler方程式に対して、連続的または Hölder 継続的（指数θ < 1/16）な初期データに対して、無限個の Hölder 継続的解の存在を確立する。反復的凸結合法を用い、巧みに設計された摂動を施すことにより、所定の単調減少の全運動エネルギーを持つ解を構成し、Onsagerの予想における長年の未解決問題を解消した。これは、Hölder 正則性の1/3未満でエネルギー散逸を示す解の存在を示したものである。

ABSTRACT

We consider solutions to the Cauchy problem for the incompressible Euler equations on the 3-dimensional torus which are continuous or Hölder continuous for any exponent $θ

研究の動機と目的

• Onsagerの予想における重要な未解決問題を解消し、Hölder 正則性の1/3未満で散逸的解を構成すること。
• Euler方程式の弱解における非一意性およびエネルギー散逸の理論を、連続的および Hölder 継続的解の領域へ拡張すること。
• θ < 1/16 における Hölder 空間 C^0,θ の初期データに対して、所定の全運動エネルギーを持つ無限個の解の存在を確立すること。
• Hölder 正則性を保ちつつエネルギーの進化を完全に制御可能な、堅牢な反復的凸結合フレームワークを構築すること。

提案手法

• エネルギーと正則性を制御する解の構成に、反復的凸結合法と一連の摂動を用いる。
• 時間依存の単位分解と切断関数 ψ_n を用い、摂動を時間的に局在化させ、収束を保証する。
• 振動的ベクトル場およびベルトラミ型の流れを用いて、速度、圧力、およびレインズトレス補正を構成し、弱い意味でEuler方程式を満たすようにする。
• 滑らか化技術を適用し、摂動段階において Hölder 正則性を維持する。
• エネルギー制御を、再帰的エネルギー欠損項 Δ_n と小さなパラメータの列 δ_n を用いて実現し、収束を保証する。
• レインズトレスがエネルギーと正則性制約を保ちながら補正されるよう保証する、鍵となる摂動補題（補題2.2）に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Onsagerの予想が予測するように、Hölder 正則性 θ < 1/16 で非圧縮性Euler方程式の散逸的弱解が存在するか。
• RQ2 このような初期データに対して、所定の単調減少の全運動エネルギーを持つ無限個の連続的または Hölder 継続的解を構成することは可能か。
• RQ3 Euler方程式において非一意性とエネルギー散逸が生じるための最小Hölder正則性は何か。
• RQ4 凸結合法を、Hölder 正則性を保ちつつエネルギー進化を完全に制御できるように適合させることは可能か。
• RQ5 どのような初期データの条件下で、所定のエネルギープロファイルを持つ「野生的」な解が存在するのか。

主な発見

• 本稿は、θ < 1/16 における C^0,θ の初期データに対して、3次元トーラス上における非圧縮性Euler方程式に対して無限個の Hölder 継続的解の存在を証明した。
• 任意のこのような初期データに対して、単調減少である所定の連続的全運動エネルギー e(t) を持つ無限個の解が存在する。
• 構成された解は弱い分布的意味でのEuler方程式を満たし、L^2 の意味で初期速度を保存する。
• 収束は、∑ max_{[t_n,1]} √Δ_{n-1} < ∞ というsummability条件により保証され、極限が連続であることが保証される。
• 極限においてレインズトレスは消えることから、最終的な解がEuler方程式を厳密に満たすことが確認された。
• この結果は、Onsagerの予想の核心的側面を確認した：Hölder 正則性が1/3未満である場合に散逸的解が存在する。