[論文レビュー] Causality of singular linear discrete time systems

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、行列ペンシル理論を用いて、特異な線形離散時間システムおよびその分数階の類似物における因果関係を調査する。解の構造をワイエルシュトラス標準形を用いて分析することで、状態因果性および出力因果性の必要十分条件を確立し、因果性が出力行列の核空間およびシステムのペンシルの冪零部の性質に依存することを示している。

ABSTRACT

We consider two type of systems, a linear singular discrete time system and a linear singular fractional discrete time system whose coefficients are square constant matrices. By assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants we investigate and provide properties for causality between state and inputs and causality between output and inputs.

研究の動機と目的

• 定数係数が正方行列である線形特異離散時間システムの因果関係を分析すること。
• ナブラRiemann-Liouville差分を用いて、特異分数階離散時間システムへの因果関係分析を拡張すること。
• 両システムタイプにおける状態および出力因果性の必要十分条件を導出すること。
• 一貫した初期条件が一意かつ因果的な解の存在を保証する役割を特定すること。
• 特に冪零固有値および有限固有値成分に注目して、因果性を行列ペンシルの構造的性質と関連付けること。

提案手法

• 非特異変換PおよびQを用いて、システム行列対(F, G)をワイエルシュトラス標準形に分解する行列ペンシル理論を用いる。
• ワイエルシュトラス形を用いて、J_p（ジョルダン行列）およびH_q（冪零行列）を用いて解を有限固有値成分と無限固有値成分に分離する。
• 離散Mittag-Leffler関数および上昇階乗関数を用いて、標準的および分数階システムの明示的解式を導出する。
• 一貫した初期条件の概念を導入し、それが一意な解の存在に不可欠であることを証明する。
• Y_kおよびX_kが過去の入力に依存するかを検討することで因果性を分析し、特にH_q^i P_2 V_{k+i}に依存する項に注目する。
• 核空間制約を通じて因果性条件を確立する：H_q P_2 B = 0およびC[Q_q H_q^i P_2 B] = 0（i = 1 から q*-1 まで）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な線形離散時間システムの状態が過去の入力に因果的に依存するのはどのような条件下か？
• RQ2 システムのペンシル(F, G)の構造が、状態および出力の因果性にどのように影響するか？
• RQ3 特異分数階離散時間システムにおける出力因果性の必要十分条件は何か？
• RQ4 一貫した初期条件は、因果的解の存在および一意性とどのように関係するか？
• RQ5 冪零成分H_qは、特異システムにおける非因果的挙動を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• システム(1)における状態と入力の間の因果性が成立するのは、かつては、V_k = BU_kおよびH_q P_2 B = 0を満たす行列Bが存在する場合に限る。
• 出力と入力の間の因果性が成立するのは、行列[Q_q H_q P_2 B, ..., Q_q H_q^{q*-1} P_2 B]のすべての列がCの右核空間に属する場合に限る。
• 分数階システム(2)では、∇_0^{in} H_q^i P_2 V_kを含む和の構造のおかげで、過去の入力に因果的に依存する解が得られる。
• システム(2)の解は、ペンシルsF - Gのすべての有限固有値が開単位円板|s| < 1の内部にある場合に存在し、一意である。
• 両システムの唯一の解は、一貫した初期条件および過去の入力によって完全に決定され、状態および出力はワイエルシュトラス分解を用いて明示的に表現される。
• 離散Mittag-Leffler関数F_{n,n}(J_p (k+n)^{ar{n}})は、分数階システムの因果的挙動を特徴付ける上で重要な役割を果たす。