[論文レビュー] Causality of spacetimes admitting a parallel null vector and weak KAM theory

E. Minguzzi|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 68被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平行な光円錐ベクトルをもつ時空における因果関係と、古典力学における弱KAM理論の間に深い接点を確立する。時空におけるローレンツ距離が商時空上の力学系の最小作用に等しいことを証明し、グローバルな双曲的性や強い因果的性質といった主要な因果的性質が、作用関数の変分的性質（有界性や下半連続性など）と同値であることを示している。

ABSTRACT

The causal spacetimes admitting a covariantly constant null vector provide a connection between relativistic and non-relativistic physics. We explore this relationship in several directions. We start proving a formula which relates the Lorentzian distance in the full spacetime with the least action of a mechanical system living in a quotient classical space time. The timelike eikonal equation satisfied by the Lorentzian distance is proved to be equivalent to the Hamilton-Jacobi equation for the least action. We also prove that the Legendre transform on the classical base corresponds to the musical isomorphism on the light cone, and the Young-Fenchel inequality is nothing but a well known geometric inequality in Lorentzian geometry. A strategy to simplify the dynamics passing to a reference frame moving with the E.-L. flow is explained. It is then proved that the causality properties can be conveniently expressed in terms of the least action. In particular, strong causality coincides with stable causality and is equivalent to the lower semi-continuity of the classical least action on the diagonal, while global hyperbolicity is equivalent to the coercivity condition on the action functional. The classical Tonelli's theorem in the calculus of variations corresponds, then, to the well known result that global hyperbolicity implies causal simplicity. The well known problem of recasting the metric in a global Rosen form is shown to be equivalent to that of finding global solutions to the Hamilton-Jacobi equation having complete characteristics.

研究の動機と目的

• 平行な光円錐ベクトルをもつ時空において、ローレンツ幾何学と古典力学の間の対応関係を確立すること。
• 因果的性質（例：グローバル双曲的性、強い因果的性）を作用関数の変分的性質（例：有界性、下半連続性）の観点から特徴づけること。
• 最小作用のハミルトン＝ジャコビ方程式がローレンツ的アイルソン方程式と同値であることを示すこと。
• 光円錐やマュージカル同型写像といった幾何的構造が、古典力学におけるリーマン変換やヤング＝フェンヒェル不等式といった構造に対応することを示すこと。

提案手法

• 完全な時空におけるローレンツ距離が、商古典的時空上の力学系の最小作用に等しいという公式を導出する。
• ローレンツ的アイルソン方程式と最小作用関数のハミルトン＝ジャコビ方程式との同値性を証明する。
• 古典的基底上のリーマン変換が、光円錐上のマュージカル同型写像に対応することを特定し、幾何的および変分的構造を結びつける。
• ヤング＝フェンヒェル不等式を用いて、ローレンツ幾何学における既知の幾何的不等式を回復する。
• オイラー＝ラグランジュ流れによる参照枠の変更を導入し、力学系を単純化する。
• 変分法におけるトネリの定理を応用し、グローバル双曲的性が因果的単純性を意味することを再構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平行な光円錐ベクトルをもつ時空におけるローレンツ距離は、古典的力学系の最小作用とどのように関係しているか？
• RQ2 この幾何的設定において、ハミルトン＝ジャコビ方程式とローレンツ的アイルソン方程式の正確な対応関係は何か？
• RQ3 グローバル双曲的性や強い因果的性といった因果的性質は、作用関数の変分的性質によって特徴づけられるか？
• RQ4 グローバル・ローゼン座標の存在は、完全な特徴線をもつハミルトン＝ジャコビ方程式のグローバル解の存在と同値か？
• RQ5 区別性（因果的性質の一つ）が成り立つ条件は何か、また、このような時空においてはいつ失敗するか？

主な発見

• 二つの事象間のローレンツ距離は、商時空上の古典的力学系の最小作用に等しく、相対性理論と古典力学の間の直接的な接続を確立する。
• 最小作用のハミルトン＝ジャコビ方程式はローレンツ的アイルソン方程式と同値であり、幾何学と力学の両方における基本的方程式を統合する。
• 強い因果的性は安定な因果的性と同値であり、作用関数が対角線上で下半連続であることと同値である。これは、変分的特徴づけを提供する。
• グローバル双曲的性は作用関数の有界性と同値であり、この同値性により変分法におけるトネリの定理が再構築される。
• 時空は一般に区別的ではない。例えば、$V(t,q) = kq^4$ のように、ポテンシャルが二次以上に速く増加する場合には区別性が成立しない。
• 特定の状況では作用関数を一様に下から有界にできるため、下半連続性が保証され、したがって強い因果的性が成立する。これは、ポテンシャルが時間に依存し、特異であっても成り立つ。