[論文レビュー] CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups

Nicola Arcozzi, Fausto Ferrari+1 more|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、サブリーマン多様体におけるガウスの補題の類似版を確立し、サブリーマンカルノー群における滑らかな特徴的でない超曲面に対して、度数の法線が存在することを証明する。また、正規CC測地線に関する変分公式およびヤコビ型方程式を導出し、2段階カルノー群における$ C^k $-滑らかな超曲面からのCC距離関数が、特徴的集合を除き、その超曲面の近傍で$ C^k $-滑らかであることを示す。

ABSTRACT

In this paper we study the main geometric properties of the Carnot-Carathéodory (abbreviated CC) distance $\dc$ in the setting of $k$-step sub-Riemannian Carnot groups from many different points of view. An extensive study of the so-called normal CC-geodesics is given. We state and prove some related variational formulae and we find suitable Jacobi-type equations for normal CC-geodesics. One of our main results is a sub-Riemannian version of the Gauss Lemma. We show the existence of the metric normal for smooth non-characteristic hypersurfaces. We also compute the sub-Riemannian exponential map $\exp\sr$ for the case of 2-step Carnot groups. Other features of normal CC-geodesics are then studied. We show how the system of normal CC-geodesic equations can be integrated step by step. Finally, we show a regularity property of the CC-distance function $δ\cc$ from a $\cont^k$-smooth hypersurface $S$.

研究の動機と目的

• カルノー群における古典的ガウスの補題のサブリーマン的類似を確立すること。
• サブリーマンカルノー群における滑らかな特徴的でない超曲面に対して、度数の法線の存在を証明すること。
• 2段階カルノー群における$ C^k $-滑らかな超曲面からのCC距離関数の正則性を分析すること。
• 2段階カルノー群における正規CC測地線方程式系の明示的積分を提供すること。

提案手法

• サブリーマン指数写像を用いて、正規CC測地線に関する変分公式およびヤコビ型方程式を導出する。
• 2段階カルノー群におけるサブリーマン指数写像$ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $を導入し、その分析を行う。
• 正規測地線の概念とその反復的積分を用いて、CC距離を特徴付ける。
• CC球面上のリーマン的法線との関係を介して、CC距離関数の勾配を用いた度数の法線の概念を適用する。
• 特徴的集合を除き、超曲面の近傍で一意的な最近点性質が成り立つことを確立する。
• k段階カルノー群の構造と、2段階の場合のCC測地線の明示的形を用いて、滑らかさの結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルノー群において、サブリーマン的ガウスの補題が成り立つか？
• RQ2 サブリーマンカルノー群における滑らかな特徴的でない超曲面に対して、度数の法線を定義できるか？
• RQ3 2段階カルノー群における$ C^k $-滑らかな超曲面からのCC距離関数は、自身$ C^k $-滑らかか？
• RQ4 2段階カルノー群において、正規CC測地線方程式系を段階的にどのように積分できるか？
• RQ5 サブリーマン的設定において、滑らかな超曲面への最近点への射影写像の正則性はいかほどか？

主な発見

• 本稿では、CC距離関数の勾配が点において度数の法線ベクトルであることを示すサブリーマン的ガウスの補題を証明する。
• 滑らかな特徴的でない超曲面に対して、度数の法線が存在し、適切に定義可能である。
• 2段階カルノー群では、$ C^k $-滑らかな超曲面からのCC距離関数は、特徴的集合を除き、その超曲面の近傍で$ C^k $-滑らかである。
• 2段階カルノー群において、サブリーマン指数写像$ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $が明示的に計算可能である。
• CC距離関数の勾配が$ C^{k-1} $-滑らかであることが示され、その結果、距離関数が$ C^k $-滑らかであることが導かれる。
• 特徴的集合を除き、超曲面の近傍で一意的な最近点性質が成り立つ。これにより、超曲面上の最近点の局所的一意性が保証される。