[論文レビュー] Cell decompositions of character varieties

Anton Mellit|arXiv (Cornell University)|May 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、バーンズ関連の多様体をファイバーとするキャラクター多様体上のベクトルバンドルを用いた細胞分解の手法により、リーマン面の一般キャラクター多様体に対して、奇妙なLefschetz性質を確立する。主な結果は、Hausel、Letellier、Rodriguez-Villegasが提起した予想を裏付けるものであり、重みフィルトレーション下でのコホロジーの精密化されたPoincaré双対性を示し、混合Hodge構造およびキャラクター多様体の位相に影響を与える。

ABSTRACT

We establish curious Lefschetz property for generic character varieties of Riemann surfaces conjectured by Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas. Our main tool applies directly in the case when there is at least one puncture where the local monodromy has distinct eigenvalues. We pass to a vector bundle over the character variety, which is then decomposed into cells, which look like vector bundles over varieties associated to braids by Shende-Treumann-Zaslow. These varieties are in turn decomposed into cells that look like $(\mathbb{C}^*)^{d-2k} imes \mathbb{C}^k$. The curious Lefschetz property is shown to hold on each cell, and therefore holds for the character variety. To deduce the general case, we introduce a fictitious puncture with trivial monodromy, and show that the cohomology of the character variety where one puncture has trivial monodromy is isomorphic to the sign component of the $S_n$ action on the cohomology for the character variety where trivial monodromy is replaced by regular semisimple monodromy. This involves an argument with the Grothendieck-Springer sheaf, and analysis of how the cohomology of the character variety varies when the eigenvalues are moved around.

研究の動機と目的

• リーマン面の一般キャラクター多様体に対して、Hausel、Letellier、Rodriguez-Villegasが提起した予想に従い、奇妙なLefschetz性質を証明すること。
• Shende-Treumann-Zaslow理論を用いて、バーンズに関連する多様体に付随するベクトルバンドルへキャラクター多様体を上げることで、細胞分解を確立すること。
• 対称群の作用およびGrothendieck-Springer層を用いて、自明なモノドロミーと正則半単純モノドロミーの両方のケースにおけるキャラクター多様体のコホロジーを分析すること。
• コホロジーの重み多項式が $ q $ と $ t $ に関して対称であることを示し、混合Hodge構造における精密化された双対性を示すこと。
• 虚偽の穴を導入し、自明なモノドロミーを持つ場合に一般化のための変形法を用いて、正則半単純モノドロミーの場合から一般の場合へ拡張すること。

提案手法

• Shende-Treumann-Zaslowが得たバーンズ関連多様体を用い、キャラクター多様体上に、$ \mathbb{C}^{*d-2k} \times \mathbb{C}^k $ に同相な細胞に分解されるベクトルバンドルを構成する。
• キャラクター多様体上に歪み付きシンプレクティック形式 $ \omega $ を導入し、そのコホロジー類が平行移動およびモノドロミー $ W $-作用の下で保存されることを示す。
• Grothendieck-Springer層を用い、$ S_n $-作用の下で符号成分を介して、自明なモノドロミーを持つキャラクター多様体のコホロジーと正則半単純モノドロミーを持つものとを関連付ける。
• $ \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) $ 上の微分形式およびシンプレクティック幾何学を用い、$ \omega $ のコホロジー類の曲率と平坦性を分析する。
• $[\omega]$ の共変微分が $ W^2 $ に属することを用い、平行移動の下で重みフィルトレーションが保存されることを保証する。
• カップ積と符号表現を含む可換図式を用い、$ X_{\mathrm{sm}}^1 $ から $ X^1 $ へ奇妙なLefschetz性質を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus および穴を持つリーマン面の一般キャラクター多様体に対して、奇妙なLefschetz性質は成り立つか？
• RQ2 自明なモノドロミーを持つキャラクター多様体のコホロジーは、正則半単純モノドロミーを持つものとどのように関係しているか？
• RQ3 幾何学的細胞分解およびモノドロミー作用を用いて、$ q $ と $ t $ に関して対称な重み多項式を確立できるか？
• RQ4 Grothendieck-Springer層は、$ S_n $-作用の下で、異なるキャラクター多様体をどのように関連付けるか？
• RQ5 シンプレクティック形式 $ \omega $ は平行移動の下でどのように振る舞い、これはコホロジーの重みフィルトレーションにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 奇妙なLefschetz性質は、すべての一般キャラクター多様体に対して成り立つ。特に、中間の重みが複素次元に等しくなることが、定理8.5.2で証明された。
• キャラクター多様体のコホロジーは、精密化されたPoincaré双対性を満たす：$ \dim \operatorname{Gr}_i^W H_c^j(X,\mathbb{C}) = \dim \operatorname{Gr}_{2\dim - i}^W H_c^{j-i+\dim}(X,\mathbb{C}) $。
• 重み多項式 $ W(X;q,t) $ は $ q $ と $ t $ に関して対称であり、これは修正されたマクドナルド多項式の対称性およびプレシスティック対数公式から導かれる。
• $ g=0, n=2, k=4 $ の場合、重み多項式は $ W(X;q,t) = q(q + t + 4) $ となり、対称性および奇妙な双対性が確認された。
• シンプレクティック形式 $ \omega $ のコホロジー類は、平行移動および $ W $-作用の下で保存され、各細胞および全体としての奇妙なLefschetz性質が保証される。
• 自明なモノドロミーを持つ仮想の穴を導入することで、正則半単純モノドロミーの場合に還元可能であり、$ S_n $-コホロジーの符号成分と自明なモノドロミーを持つコホロジーとの間の同型が得られる。