[論文レビュー] Hitchin fibrations, abelian surfaces, and the P=W conjecture

Mark Andrea A. de Cataldo, Davesh Maulik+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、アーベル面上のヒルバート・チョウ写像の退化を介してヒチン・ファイブレーションを分析し、マークマンのモノドロミー作用素を用いて perverse filtration の対称性を確立することで、任意のランクについて genus 2 曲線に対する P=W 猜想を証明する。タウトロジカルクラスが正しい perverse filtration の断片に属することを検証し、完全な予想を filtration の乗法性の証明に還元する。最近の重みフィルトレーションに関するメリットの結果を踏まえる。

ABSTRACT

We study the topology of Hitchin fibrations via abelian surfaces. We establish the P=W conjecture for genus $2$ curves and arbitrary rank. In higher genus and arbitrary rank, we prove that P=W holds for the subalgebra of cohomology generated by even tautological classes. Furthermore, we show that all tautological generators lie in the correct pieces of the perverse filtration as predicted by the P=W conjecture. In combination with recent work of Mellit, this reduces the full conjecture to the multiplicativity of the perverse filtration. Our main technique is to study the Hitchin fibration as a degeneration of the Hilbert-Chow morphism associated with the moduli space of certain torsion sheaves on an abelian surface, where the symmetries induced by Markman's monodromy operators play a crucial role.

研究の動機と目的

• 幾何学的・位相的手法を用いて、任意のランクについて genus 2 曲線に対する P=W 猜想を確立すること。
• アーベル面上のヒルバート・チョウ写像の退化を用いて、ドルベオー・モジュライ空間上の perverse filtration を分析すること。
• ドルベオー・モジュライ空間のコホロロジー環のタウトロジカル生成子が、P=W 猜想で予測された正しい perverse filtration 段階に位置することを検証すること。
• 最近の重みフィルトレーション理論の進展を活用し、完全な P=W 猜想を perverse filtration の乗法性の証明に還元すること。

提案手法

• アーベル面上の torsion シェーブの関連するヒルバート・チョウ写像の退化としてヒチン・ファイブレーションを用いる。
• マークマンのモノドロミー作用素を適用し、シェーブのモジュライ空間のコホロロジーにおける対称性を誘発する。
• 特異化写像 $\mathrm{sp}^{!}$ を用いて、退化族のコホロロジーと元のヒチン・ファイブレーションのコホロロジーを関連付ける。
• グロテンディーク–リーマン–ロッホの公式を用いてチャーン類のプッシュフォワードを計算し、それらを perverse filtration のクラスに関連付ける。
• 曲線 $C$ の変形において perverse filtration の局所的定数性を活用し、アーベル面上に埋め込まれた曲線に還元すること。
• 群 $\mathrm{Sp}_{2g}$ のモノドロミー群作用が $H^1(C,\mathbb{Q})$ に作用し、制限されたクラスから全コホロロジーを生成することを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のランク $r$ について、genus 2 曲線に対する P=W 猜想は成り立つか？
• RQ2 ドルベオー・モジュライ空間のコホロロジー環のすべてのタウトロジカル生成子が、P=W 猜想で予測された正しい perverse filtration 段階に位置するか？
• RQ3 完全な P=W 猜想は、perverse filtration の乗法性の証明に還元可能か？
• RQ4 アーベル面上のモジュライ空間から得られるモノドロミー対称性は、ヒチン・ファイブレーション上の perverse filtration をどのように制約するか？

主な発見

• 任意のランク $r \geq 1$ について、genus 2 曲線に対する P=W 猜想が完全に証明され、base change を用いて $\mathrm{PGL}_r$ に対しても成立する。
• すべての偶数次タウトロジカル生成子 $H^*({\mathcal{M}}_{\mathrm{Dol}},{\mathbb{Q}})$ は、P=W で予測された正しい perverse filtration 段階に位置する。
• genus $g \geq 3$ の場合、$\gamma \in H^1(C,\mathbb{Q})$ である奇数次タウトロジカルクラス $c(\gamma,k)$ も、モノドロミーによるコホロロジー生成のおかげで正しい perverse filtration 段階 $k$ に位置する。
• 偶数次タウトロジカルクラスが生成するコホロロジーの部分代数は、perverse filtration において乗法的であるため、完全な予想はこの乗法性の証明に還元される。
• 特異化写像 $\mathrm{sp}^{!}$ は、アーベル面上の退化から得られるクラスを元のモジュライ空間に写像し、perverse filtration 構造を保存する。
• この結果により、genus 2 曲線に対する Curious Poincaré および Curious Hard Lefschetz 猜想が成立し、局所的カルラビ–ヤウ 3-多様体における Gopakumar–Vafa/PT 対応関係を支持する。