[論文レビュー] Cellular $\\mathbb A^1$-homology and the motivic version of Matsumoto's theorem

Fabien Morel, Anand Sawant|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の体上での分裂再帰的群の $Ä^1$-基本群を計算するために、セルラー構造を備えた滑らかなスキームのための新しい計算可能なホモロジー理論であるセルラー $Ä^1$-ホモロジーを導入する。この理論を用いて、モチビック版の松本の定理を確立し、分裂・単純・ simply connected な代数群の $Ä^1$-基本層が、タイプに応じてミルナー $K$-理論 ${\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2$ またはミルナー＝ウィット $K$-理論 ${\mathbf{K}}^\mathrm{MW}_2$ に同型であることを示す。これにより、代数トポロジーおよび代数 $K$-理論における古典的結果が統一的かつ一般化される。

ABSTRACT

We define a new version of $\\mathbb A^1$-homology, called cellular $\\mathbb A^1$-homology, for smooth schemes over a field that admit an increasing filtration by open subschemes with cohomologically trivial closed strata. We provide several explicit computations of cellular $\\mathbb A^1$-homology and use them to determine the $\\mathbb A^1$-fundamental group of a split reductive group over an arbitrary field, thereby obtaining the motivic version of Matsumoto's theorem on universal central extensions of split, semisimple, simply connected algebraic groups. As applications, we uniformly explain and generalize results due to Brylinski-Deligne and Esnault-Kahn-Levine-Viehweg, determine the isomorphism classes of central extensions of such an algebraic group by an arbitrary strictly $\\mathbb A^1$-invariant sheaf and also reprove classical results of E. Cartan on homotopy groups of complex Lie groups.

研究の動機と目的

• セルラー構造を備えた滑らかなスキームのための、新しい計算可能な $Ä^1$-ホモロジーの定義——セルラー $Ä^1$-ホモロジーを導入すること。
• 任意の体上の分裂再帰的群の $Ä^1$-基本群層 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$ を計算すること。
• 分裂・単純・ simply connected な代数群の普遍中心拡大に関する松本の定理のモチビック版を確立すること。
• ブリリニスキ・デリーニとエスナールト・カーン・レヴィン・ヴィエフェグの中心拡大に関する結果を統一・一般化すること。
• モチビック手法を用いて、エリ・カルタンが複素 Lie 群のホモトピー群に関して得た古典的結果を再証明すること。

提案手法

• スキームにセルラー構造が与えられたとき、それに関連するセルラー $Ä^1$-チェーン複体のホモロジーとしてセルラー $Ä^1$-ホモロジーを定義すること。
• $Ä^1$-ホモトピー純度定理と、完備体上の $Ä^1$-ホモトピー層の構造を用いて基本群を解析すること。
• 分裂・単純・ simply connected な代数群のブルア・分解から、セルラー $Ä^1$-チェーン複体を構成すること。
• 穴あきアフィン空間およびそのサスペンションの明示的モデルを用いて、セルラー $Ä^1$-チェーン複体の低次の微分を計算すること。
• 複素点の単体的ホモロジーとの比較を通じて、$Ä^1$-基本層とミルナー $K$-理論またはミルナー＝ウィット $K$-理論との同型を確立すること。
• モチビックコホモロジーにおけるスペクトル系列と双対性を用いて、低次のコホモロジー群の消滅性およびランクを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体 $k$ 上の分裂再帰的群 $G$ に対して、$Ä^1$-基本群層 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$ は何か？
• RQ2 セルラー $Ä^1$-ホモロジーは、古典的結果を一般化する形で、この基本群層をどのように計算できるか？
• RQ3 代数群の文脈において、普遍中心拡大に関する松本の定理のモチビック類似は何か？
• RQ4 フラッグ多様体 $G/B$ のセルラー $Ä^1$-ホモロジーは、$G$ のモチビックコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 E. カルタンの $Ï _3(G({\mathbb{C}}))$ に関する古典的結果は、モチビックホモトピー論を用いて再導出可能か？

主な発見

• 分裂再帰的群 $G$ に対する $Ä^1$-基本群層 ${\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G)$ は、短完全系列 $1 \to {\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G_{\rm sc}) \to {\bm{\pi}}^{\u00c4^1}_1(G) \to \mu \to 1$ に含まれる。ここで $\mu$ は普遍被覆の核である。
• 分裂・単純・ほとんど単純・ simply connected な代数群 $G$ に対して、$Ä^1$-基本群層は、$G$ がシミプレクティック型でない場合には ${\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2$ に同型であり、シミプレクティック型である場合には ${\mathbf{K}}^\mathrm{MW}_2$ に同型である。
• フラッグ多様体 $G/B$ のセルラー $Ä^1$-ホモロジーは低次の項で明示的に計算され、2次微分の像はルート系のデータによって決定される。
• セルラー $Ä^1$-チェーン複体の複素数点は、$G({\mathbb{C}})$ の単体的ホモロジーを計算することが示され、$H^*(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2)$ のスペクトル系列は再インデックス化の後、セールのスペクトル系列と一致する。
• $H^1(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2) \to H^1(G({\mathbb{C}});{\mathbb{Z}})$ は同型であり、$i \geq 2$ に対して $H^i(G;{\mathbf{K}}^\mathrm{M}_2) = 0$ である。これはカルタンの定理のモチビック版を確認する。
• 3次元でのセルラー $Ä^1$-チェーン複体の双対は、ホモロジーが ${\mathbb{Z}}$ に同型であることが示され、モチビック手法により $\pi_3(G({\mathbb{C}})) \cong {\mathbb{Z}}$ が証明される。