[論文レビュー] Cellular Stratified Spaces I: Face Categories and Classifying Spaces

Dai Tamaki|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、円柱的正規な細胞的分層空間を導入し、その分類空間 BC(X) が自然に X に埋め込まれる顔カテゴリ C(X) を定義する。細胞複体の場合、この埋め込みはホメオモルフィズムであり、重心分割の一般化である。分層が局所的に多面体的であるとき、BC(X) は X の強い変形リトラクトとなり、サルベッティ複体とモース理論的構成の統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The notion of cellular stratified spaces was introduced in a joint work of the author with Basabe, González, and Rudyak [1009.1851] with the aim of constructing a cellular model of the configuration space of a sphere. In particular, it was shown that the classifying space (order complex) of the face poset of a totally normal regular cellular stratified space $X$ can be embedded in $X$ as a strong deformation retract. Here we elaborate on this idea and develop the theory of cellular stratified spaces. We introduce the notion of cylindrically normal cellular stratified spaces and associate a topological category $C(X)$, called the face category, to such a stratified space $X$. We show that the classifying space $BC(X)$ of $C(X)$ can be naturally embedded into $X$. When $X$ is a cell complex, the embedding is a homeomorphism and we obtain an extension of the barycentric subdivision of regular cell complexes. Furthermore, when the cellular stratification on $X$ is locally polyhedral, we show that $BC(X)$ is a deformation retract of $X$. We discuss possible applications at the end of the paper. In particular, the results in this paper can be regarded as a common framework for the Salvetti complex for the complement of a complexified hyperplane arrangement and a version of Morse theory due to Cohen, Jones, and Segal.

研究の動機と目的

• 細胞的分層空間のトポロジカル構造に焦点を当てた、体系的な理論の構築。
• 円柱的正規な細胞的分層空間に対する顔カテゴリ C(X) の定義。
• 分類空間 BC(X) が分層空間 X に自然に埋め込まれることの確立。
• X が細胞複体である場合、BC(X) が X とホメオモルフィックであることを示し、重心分割を拡張する。
• 分層が局所的に多面体的である場合、BC(X) が X の変形リトラクトであることを証明し、配置の補集合とモース理論の構成を統一する。

提案手法

• 良好な局所構造を保証するため、円柱的正規な細胞的分層空間の概念を導入する。
• 対象を細胞とし、射が顔関係を符号化する位相的カテゴリとして顔カテゴリ C(X) を構成する。
• C(X) のネ载体の幾何的実現として分類空間 BC(X) を定義する。
• 分層の正規構造を用いて、BC(X) から X への自然な連続埋め込みを確立する。
• 局所的に多面体的であるという条件を用いて、ホモトピー構成により埋め込みが変形リトラクトであることを証明する。
• 本フレームワークを用いて、既知の構成（例えばサルベッティ複体やコーエン＝ジョーンズ＝セガルのモース理論）を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、細胞的分層空間の組み合わせ的・位相的構造を捉えるために、顔カテゴリを自然に関連付けることができるか？
• RQ2 分類空間 BC(X) が分層空間 X に埋め込まれる条件は何か？
• RQ3 この埋め込みがホメオモルフィズムであるのはどのような場合か。また、重心分割をどのように一般化するか？
• RQ4 BC(X) が X の変形リトラクトであるのはどのような場合か。分層のどのような構造的条件がこれを保証するか？
• RQ5 このフレームワークは、サルベッティ複体やモース理論的モデルといった既存の構成を統一できるか？

主な発見

• 顔カテゴリ C(X) の分類空間 BC(X) は、自然に細胞的分層空間 X に埋め込まれる。
• X が細胞複体である場合、埋め込み BC(X) → X はホメオモルフィズムであり、古典的な重心分割を拡張する。
• 局所的に多面体的な細胞的分層について、BC(X) は X の強い変形リトラクトである。
• 本構成は、複素化された超平面配置の補集合に対するサルベッティ複体を含む共通の枠組みを提供する。
• 本結果は、コーエン、ジョーンズ、セガルによるモース理論の側面を、一つのカテゴリカルかつ幾何的設定の中で一般化・統一する。