[論文レビュー] The Grothendieck Construction and Gradings for Enriched Categories

Dai Tamaki|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、k-加群、チェイン複体、位相空間などを含む、ややいなごろしの条件を満たす対称モノイド圏上の豊密化圏へGrothendieck構成を拡張する。一般化された次数付き圏の概念を導入し、Grothendieck構成がこの圏に値をとることを証明し、これはスモージング積構成によって与えられる右随伴を持つ左随伴であることを確立する。

ABSTRACT

The Grothendieck construction is a process to form a single category from a diagram of small categories. In this paper, we extend the definition of the Grothendieck construction to diagrams of small categories enriched over a symmetric monoidal category satisfying certain conditions. Symmetric monoidal categories satisfying the conditions in this paper include the category of $k$-modules over a commutative ring $k$, the category of chain complexes, the category of simplicial sets, the category of topological spaces, and the category of modern spectra. In particular, we obtain a generalization of the orbit category construction in [math/0312214]. We also extend the notion of graded categories and show that the Grothendieck construction takes values in the category of graded categories. Our definition of graded category does not require any coproduct decompositions and generalizes $k$-linear graded categories indexed by small categories defined by Lowen. There are two popular ways to construct functors from the category of graded categories to the category of oplax functors. One of them is the smash product construction defined and studied in [math/0312214,0807.4706,0905.3884] for $k$-linear categories and the other one is the fiber functor. We construct extensions of these functors for enriched categories and show that they are ``right adjoint'' to the Grothendieck construction in suitable senses. As a byproduct, we obtain a new short description of small enriched categories.

研究の動機と目的

• 普通の圏から、積と内部ホムを持つ対称モノイド圏を値とする豊密化圏へのGrothendieck構成の一般化を図ること。
• 余積分解を要件としない次数付き圏の概念を定義し、k-線形次数付き圏を一般化すること。
• Grothendieck構成が次数付き圏の圏に値をとることを示すこと。
• 豊密化設定におけるスモージング積およびファイバー関手を用いて、Grothendieck構成の右随伴を構成すること。
• 随伴構造を用いた、小さな豊密化圏の新しい短い記述を提供すること。

提案手法

• V が積と内部ホムを持つ対称モノイド圏であるとき、V-圏値の上ラックス関手に対するGrothendieck構成を定義する。
• X(i) に属する x と I 内の射 f: i → j からなる対 (x, f) を対象とし、合成可能な射の余積を用いて定義される射を持つ、V-圏 Gr(X) を構成する。
• 小さな圏 I への勾配関手を備えた V-圏として次数付き圏を導入し、k-線形次数付き圏を一般化する。
• スモージング積構成を、[CM06] の構成を豊密化設定に一般化した、Grothendieck構成の右随伴として定義する。
• Grothendieck構成が対角関手に対する左随伴であることを確立し、2-関手的随伴にまで拡張する。
• 特に、コモノイド上のコモジュール圏を介して、コンma圏およびコモジュール圏を用いて豊密化文脈におけるGrothendieck構成を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積と内部ホムを持つ対称モノイド圏を値とする豊密化圏へのGrothendieck構成は、どのように一般化可能か？
• RQ2 余積分解に依存しない豊密化圏のための適切な次数の概念とは何か？
• RQ3 豊密化設定において、Grothendieck構成が次数付き圏から上ラックス関手への関手に対する左随伴として特徴付けられるか？
• RQ4 スモージング積およびファイバー関手はどのように豊密化圏へ拡張され、それらはGrothendieck構成の右随伴か？
• RQ5 特にチェイン複体やスペクトルの圏において、Grothendieck構成とホモトピーコロイドの関係は何か？

主な発見

• 積と内部ホムを持つ対称モノイド圏、k-加群、チェイン複体、単体的集合、位相空間、スペクトルなどを含む、豊密化圏へのGrothendieck構成が拡張可能である。
• この構成は、古典的ケースを一般化し、k-線形圏を超える範囲にまで拡張された次数付き圏の圏に値をとる。
• スモージング積を用いて、[CM06] の構成を豊密化設定に一般化した、Grothendieck構成に対する新しい2-関手的右随伴が構成された。
• Grothendieck構成が、豊密化圏から上ラックス関手への対角関手に対する左随伴であることが示され、コンマ圏を用いて随伴が確立された。
• ファイバー関手の構成が豊密化圏へ拡張され、適切な2-カテゴリカルな意味で、Grothendieck構成の右随伴であることが示された。
• 本論文は、随伴構造を用いて、小さな豊密化圏を、上ラックス関手へのGrothendieck構成の像として新しい短い記述で与えた。