[論文レビュー] Cellularity of cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Weideng Cui|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Kleshchevの手法にインspiredされた表現論に依存しない直接的アプローチにより、cyclotomic Yokonuma-Hecke代数 $Y_{r,n}^{d}(q)$ の完全性を確立し、明示的なセルラー基底を構成する。また、この代数におけるJucys-Murphy要素がMathasの抽象的枠組みにおけるJM要素の公理を満たすことを証明し、付録で代数の融合手続きを提示し、非循環的ケースの結果を拡張する。

ABSTRACT

We first give a direct proof of a basis theorem for the cyclotomic Yokonuma-Hecke algebra $Y_{r,n}^{d}(q).$ Our approach follows Kleshchev's, which does not use the representation theory of $Y_{r,n}^{d}(q),$ and so it is very different from that of [ChP2]. We also present two applications. Then we prove that the cyclotomic Yokonuma-Hecke algebra $Y_{r,n}^{d}(q)$ is cellular by constructing an explicit cellular basis, and show that the Jucys-Murphy elements for $Y_{r,n}^{d}(q)$ are JM-elements in the abstract sense. In the appendix, we shall develop the fusion procedure for $Y_{r,n}^{d}(q).$

研究の動機と目的

• cyclotomic Yokonuma-Hecke代数 $Y_{r,n}^{d}(q)$ の基底定理を、表現論に依存しない直接的証明を与えること。
• 明示的なセルラー基底を構成することにより、$Y_{r,n}^{d}(q)$ がセルラー代数であることを確立すること。
• この代数におけるJucys-Murphy要素が、Mathasの抽象的枠組みにおけるJM要素の公理を満たすことを示すこと。
• 付録で $Y_{r,n}^{d}(q)$ の融合手続きを構築し、非循環的ケースからの結果を一般化すること。

提案手法

• Kleshchevの手法を[Kle]から借用し、$Y_{r,n}^{d}(q)$ の表現理論に依存せずに基底を構成する。
• 標準的 $(r,d)$-テーブルールと関連するイデムポテンの組み合わせ的道具を用いて、[DJM]および[ER]の結果を統合することでセルラー基底を構成する。
• 有理関数の列 $\Phi(u_1,\ldots,u_n,\underline{v}_1,\ldots,\underline{v}_n)$ と、単位根 $\zeta_{p_i}$ における評価写像を用いる。
• 標準的テーブルール $\mathfrak{t}$ に関連するイデムポテン $E_{\mathfrak{t}}$ を得るために、$\widetilde{\phi}_k$ と $\phi_k$ 関数を用いた再帰的評価プロセスを用いる。
• セルラー基底の対称性および整合性条件の検証は、代数の構造と生成元の性質に依存する。
• 付録における融合手続きは、有理関数の再帰的評価と $\phi_k$、$\widetilde{\phi}_k$ 写像の性質を用いて開発される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cyclotomic Yokonuma-Hecke代数 $Y_{r,n}^{d}(q)$ の基底定理は、その表現論に依存せずに証明可能か？
• RQ2 $Y_{r,n}^{d}(q)$ はセルラー代数か？ もしそうであれば、明示的なセルラー基底を構成可能か？
• RQ3 $Y_{r,n}^{d}(q)$ におけるJucys-Murphy要素は、Mathasの抽象的枠組みにおけるJM要素の公理を満たすか？
• RQ4 融合手続きの構造は何か？ また、セルラー基底とはどのように関係するか？

主な発見

• $Y_{r,n}^{d}(q)$ は、単位根における有理関数の再帰的評価により、明示的なセルラー基底を有する。
• この代数におけるJucys-Murphy要素は、Mathasの意味におけるJM要素の公理を満たすことが示され、セルラー構造におけるその役割が確認された。
• 標準的 $(r,d)$-テーブルール $\mathfrak{t}$ に関連するイデムポテン $E_{\mathfrak{t}}$ は、評価の列 $\Phi|_{\underline{v}_1=\zeta_{p_1}}\cdots|_{u_n=c_n}$ を通じて導出される。
• 本稿は、[ChPA2]とは異なる表現論に依存しないアプローチにより、$Y_{r,n}^{d}(q)$ の基底定理の新たな証明を与える。
• 付録で $Y_{r,n}^{d}(q)$ の融合手続きが開発され、非循環的ケースからの手法が一般化された。
• 構成手法により、$Y_{r,n}^{d}(q)$ がセルラー代数であることが確認され、[ER]で確立された非循環的ケースの結果が拡張された。