[論文レビュー] Central Limit Theorem and exponential tail estimations in mixed (anisotropic) Lebesgue spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

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ひとこと要約

本稿は、混合（非等方的）ルベーグ＝ライズ空間における独立または従属な確率ベクトルの正規化和について、中心極限定理（CLT）および指数的尾部推定を確立する。i.i.d.の場合を越えてCLTを拡張するために、ローゼンタール型不等式およびミキシングエール定数を導入し、モーメントおよび依存性の条件の下で弱収束およびモーメントバウンドを証明する。微分作用素および関数空間への応用を含む。

ABSTRACT

We study the Central Limit Theorem (CLT) in the so-called mixed (anisotropic) Lebesgue-Riesz spaces and tail behavior of normed sums of centered random independent variables (vectors) with values in these spaces.

研究の動機と目的

• 標準的なLp空間を一般化する異なる次元で異なる可積分性指数をもつ混合（非等方的）ルベーグ＝ライズ空間への古典的中心極限定理（CLT）の拡張。
• これらの空間における確率ベクトルの正規化和の弱収束のための十分条件の確立、制限ガウス過程がほとんど確実にその空間に属することを保証する。
• マルティングールおよびスーパー強いミキシングエール構造を含む依存構造の下で、確率ベクトルの和の指数的尾部推定およびモーメントバウンドの導出。
• ローゼンタール型不等式を非等方的設定に一般化し、尾部挙動および収束速度を制御する新しい定数の導入。
• 微分作用素がこれらの空間における確率場に作用する場合の解析を行い、導関数または特異積分を含む重み付き関数型のCLTの証明。

提案手法

• 異なる変数ごとの可積分性を許容する、ノルムが $ |f|_{\tilde{p}} = \left( \int_{X_l} \cdots \left( \int_{X_1} |f|^{p_1} \, d\mu_1 \right)^{p_2/p_1} \cdots \right)^{1/p_l} $ で定義される混合ルベーグ＝ライズ空間 $ L_{\tilde{p}} $ を定義する。
• 弱収束を解析するため、特性関数型 $ \phi_{S(n)}(b) = \mathbb{E} e^{i (S(n), b)} $ を用い、ガウス分布 $ N(0,R) $ への収束を要求し、$ \mathbb{P}(S \in B) = 1 $ を満たす必要がある。
• i.i.d.列のためのローゼンタール定数 $ K_R(m) $ とスーパー強いミキシングエールのための $ K_M(m) $ を定義し、$ \beta $-ミキシング係数を用いる：$ K_M(m) = m \left[ \sum_{k=1}^\infty \beta(k) (k+1)^{(m-2)/2} \right]^{1/m} $。
• モーメントバウンドを確立：$ \sup_n \left[ \mathbb{E} |A[S_n]|_{\tilde{p}}^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \leq K_R(m\bar{p}) \cdot \left| \left[ \mathbb{E} |A[\xi]|^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \right|_{\tilde{p}} $、ミキシングエールの場合は類似の形で成立。
• 古典的CLTの議論を適応し、新しいローゼンタール型定数を用いて収束速度を制御することで、マルティングールおよびミキシングエール列のCLTを証明する。
• ノルムが $ |f|_{W^A_{\tilde{p}}} = \max( |f|_{\tilde{p}}, |Af|_{\bar{p}} ) $ で定義される重み付きソボレフ型空間 $ W^A_{\tilde{p}} $ を定義し、$ \xi $ および $ A[\xi] $ のモーメント条件の下で、これらの空間における確率場のCLTを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化和 $ S(n) = n^{-1/2} \sum_{j=1}^n \xi_j $ が、混合ルベーグ＝ライズ空間 $ L_{\tilde{p}} $ においてガウス確率要素に弱収束するための条件は何か？
• RQ2 依存する確率ベクトルの和のモーメントおよび尾部挙動を制御するため、ローゼンタール型不等式を非等方的 $ L_{\tilde{p}} $ 空間にどのように拡張できるか？
• RQ3 ミキシングエール定数 $ K_M(m) $ が、i.i.d.のローゼンタール定数に代わってCLTを依存列に一般化する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 微分作用素または積分作用素 $ A $ に対して、$ \xi $ および $ A[\xi] $ のモーメント条件の下で、空間 $ W^A_{\tilde{p}} $ における確率場のCLTを確立できるか？
• RQ5 非等方的ノルムおよび因数分解性質が、混合ノルム関数空間における収束および尾部推定にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 混合ルベーグ＝ライズ空間 $ L_{\tilde{p}} $ においてCLTが成り立つための条件は、$ \left[ \mathbb{E} |\xi|^{\bar{p}} \right]^{1/\bar{p}} \in L_{\tilde{p}} $ および $ \left[ \mathbb{E} |A[\xi]|^{\bar{p}} \right]^{1/\bar{p}} \in L_{\tilde{p}} $ であり、$ \bar{p} \geq 2 $ である。これにより、極限ガウス過程がほとんど確実にその空間に属することが保証される。
• i.i.d.列の場合、モーメントバウンド $ \sup_n \left[ \mathbb{E} |A[S_n]|_{\tilde{p}}^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \leq K_R(m\bar{p}) \cdot \left| \left[ \mathbb{E} |A[\xi]|^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \right|_{\tilde{p}} $ がローゼンタール定数 $ K_R(m\bar{p}) $ を用いて成立する。
• スーパー強いミキシングエール列の場合、同じモーメントバウンドが $ K_R $ を $ K_M $ に置き換えた形で成立し、$ K_M(m\bar{p}) = m \left[ \sum_{k=1}^\infty \beta(k) (k+1)^{(m-2)/2} \right]^{1/m} $ であり、$ K_M(m\bar{p}) < \infty $ の下で成立する。
• 同じモーメントおよび可積分性条件の下で、マルティングール差分列に対してもCLTが成立し、古典的マルティングールCLTに従い、特性関数型の収束が導かれる。
• 微分作用素 $ A $ に対して、例えば $ A[u](x,y) = \frac{D^{(\vec{q})}u(x) - D^{(\vec{q})}u(y)}{|x-y|^\beta} $ のような形である場合、$ \left[ \mathbb{E} |\xi|^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \in L_{\tilde{p}} $ および $ \left[ \mathbb{E} |A[\xi]|^{m\bar{p}} \right]^{1/(m\bar{p})} \in L_{\tilde{p}} $ の下で、$ W^A_{\tilde{p}} $ においてCLTが成立する。
• 関数 $ f(x_1,x_2) = g_1(x_1)g_2(x_2) $ に対して、$ |f|_{p_1,p_2} = |g_1|_{p_1} \cdot |g_2|_{p_2} $ という因数分解性質が成り立つことにより、ノルム推定が簡略化され、非等方的設定におけるモーメントバウンドの導出を支援する。