[論文レビュー] Central values of additive twists of cuspidal $L$-functions

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、偶数重さ $k \geq 4$ の正則尖点形式に関連する $L$-関数の加法的ねじれの中心値の漸近的正規分布を確立し、PetridisとRisagerによるモジュラー記号に関する結果を一般化する。$X \to \infty$ のとき、正規化された中心値 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$ は、標準的複素正規分布に分布収束する。ここで $C_f$ はペーターソンノルムと $̲\Gamma_0(q)$ の双曲的体積に依存する。この結果により、自明な文字の積を持つ広い範囲のディリクレねじれに関する中心値 $L(f \otimes \chi, 1/2)$ の平均に対する漸近公式が得られる。

ABSTRACT

Additive twists are important invariants associated to holomorphic cusp forms; they encode the Eichler--Shimura isomorphism and contain information about automorphic $L$-functions. In this paper we prove that central values of additive twists of the $L$-function associated to a holomorphic cusp form $f$ of even weight $k$ are asymptotically normally distributed. This generalizes (to $k\geq 4$) a recent breakthrough of Petridis and Risager concerning the arithmetic distribution of modular symbols. Furthermore we give as an application an asymptotic formula for the averages of certain 'wide' families of automorphic $L$-functions, consisting of central values of the form $L(f\otimes χ,1/2)$ with $χ$ a Dirichlet character.

研究の動機と目的

• 偶数重さ $k \geq 4$ の正則尖点形式に付随する $L$-関数の加法的ねじれの中心値の漸近的正規分布を確立し、既存のモジュラー記号に関する結果を拡張する。
• PetridisとRisagerによるモジュラー記号の研究を、加法的ねじれを用いて高重さの尖点形式へ一般化する。
• 自明な文字の積を持つディリクレ指標の族に関する中心値 $L(f \otimes \chi, 1/2)$ の平均に対する漸近公式を導出する。
• MazurとRubinが定義した分散勾配 $C_f$ の高重さ版を提示し、それをペーターソンノルムと双曲的体積と関連付ける。

提案手法

• 加法的ねじれ $L(f,r,s) = \sum_{n \geq 1} \frac{a_f(n) e(nr)}{n^s}$ を $r \in \mathbb{Q}$ に対して定義する。$\operatorname{Re}(s) > (k+1)/2$ で絶対収束し、meromorphicに続行可能である。
• ねじれパラメータの分母 $c$ によって加法的ねじれを順序付け、$0 < a < c \leq X$、$(a,c) = 1$、$q \mid c$ を満たす $a/c \in \mathbb{Q}$ を用い、標本空間 $T(X)$ を構成する。
• 中心値 $L(f,a/c,k/2)$ を $(C_f \log c)^{1/2}$ で正規化する。ここで $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$ であり、その極限分布を研究する。
• スペクトル理論とアイヘラー＝シムラ同型を用いて、加法的ねじれをコhomological不変量とモジュラー記号と関連付ける。
• Birch–Stevensの公式（補題6.1）を適用し、加法的ねじれを $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$ の形に表現することで、ディリクレ指標に関する中心値の平均化を可能にする。
• ディリクレ指標の直交性と $L$-関数の関数等式を用いて、$\chi \mod c$ に関する平均に対する漸近公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数重さ $k \geq 4$ の正則尖点形式に関連する $L$-関数の加法的ねじれの中心値は、ねじれパラメータの分母を基準に順序付けたとき、$X \to \infty$ で漸近的に正規分布に従うか？
• RQ2 既に重さ2で知られているモジュラー記号の漸近的正規分布は、加法的ねじれを用いて高重さの尖点形式へ拡張可能か？
• RQ3 自明な文字の積を持つ広い範囲のディリクレ指標に関する $L(f \otimes \chi, 1/2)$ の平均の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 正規化における分散 $C_f$ は尖点形式 $f$ の算術的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 正規化された中心値 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$ は、$X \to \infty$ のとき、標準的複素正規分布 $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,1)$ に分布収束し、誤差は $o(1)$ である。
• 分散パrameter $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$ は、$f$ の $\mathcal{S}_k(\Gamma_0(q))$ への埋め込みに依存せず、MazurとRubinが定義した分散勾配を一般化する。
• $(q,c) = 1$ かつ $\chi$ がすべての $c$ を法とする指標を走るとき、$c \leq X$ における $L(f \otimes \chi, 1/2)$ の平均は、次の漸近公式を満たす： $\sum_{c \leq X, (q,c)=1} \frac{1}{\varphi(c)} \sum_{\chi \mod c} |\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))|^2 |L(f \otimes \chi^*, 1/2)|^2 = \frac{q(4\pi)^k \|f\|^2}{\pi(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))^2} (\log X) X^2 + \beta_{f,1} X^2 + O_\varepsilon(X^{4/3+\varepsilon})$。
• 本結果は、Birch–Stevensの公式を非原始的指標へ一般化し、加法的ねじれを係数 $\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))$ を用いた $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$ の線形結合として表現する。
• 正規直交基底の尖点形式に対する加法的ねじれの同時分布についても、一般化された定理5.1により、漸近的に多変量正規分布に従うことが示される。