[論文レビュー] Centrality measures in simplicial complexes: applications of TDA to Network Science

Daniel Hernández Serrano, Darío Sánchez Gómez|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次隣接性、次数、ウォーク、距離を拡張することで、複雑ネットワークにおける多エージェント相互作用をモデル化するための、単体複体における新しい中心性測度を導入する。閉包性、媒介性、クラスタリング係数を単体構造へ一般化し、多数体相互作用を有するネットワークにおけるコミュニティの関連性やトポロジカルダイナミクスの分析を可能にする。

ABSTRACT

Many real networks in social sciences, biological and biomedical sciences or computer science have an inherent structure of simplicial complexes reflecting many-body interactions. Using the recently introduced higher order notions of adjacency and degree for simplices in a simplicial complex, we define new centrality measures in simplicial complexes which contain meaningful information about the relevance of an agent, and of a simplicial community of agents, in terms of other collaborative simplicial communities or sub-communities. These measures allow not only to study the relevance of a simplicial community in a network, but also to elucidate topological and dynamical properties of simplicial networks. We start by defining centrality measures associated with the notions of generalised higher order degrees valid for any dimensional comparison, they are needed to understand the relations among different collaborative simplicial communities and to study higher order degree distributions in simplicial complex networks. We then define notions of walks and distances in simplicial complexes to study connectivity of simplicial networks and to generalise, to the simplicial case, the well known closeness and betweenness centralities (needed for instance to study the relevance of a simplicial community in terms of its ability of transmitting information). Finally, we define a clustering coefficient for simplices in a simplicial complex which generalises the standard graph clustering of a vertex and is essential to know not only the clustering around a node, but the clustering around a simplicial community in a simplicial network, and it might help to understand how cliques and simplicial communities evolve in a simplicial network.

研究の動機と目的

• 多数体相互作用を有するネットワークにおいて、個々のエージェントおよび単体的コミュニティの関連性を捉える中心性測度を開発すること。
• グラフレベルの中心性概念—閉包性、媒介性、クラスタリング—を単体複合体フレームワークへ一般化すること。
• 単体ネットワークにおける高次次数分布および接続パターンの研究を可能にすること。
• 高次ネットワークにおけるクリークおよび協働コミュニティの進化および構造的性質を理解すること。

提案手法

• 単体の次元をまたがる接続性を定量化するための一般化された高次次数を提案する。
• ネットワークの接続性および情報伝達を評価するため、単体複合体におけるウォークおよび距離を定義する。
• 頂点のクラスタリングを高次元コミュニティへ一般化する単体クラスタリング係数を導入する。
• 単体複合体における距離に基づく測定を用いて、閉包性および媒介性中心性を単体へ拡張する。
• 隣接関係および次数関係を通じて、協働コミュニティおよびその相互関係を単体構造を用いてモデル化する。
• 単体ネットワークの動的およびトポロジカル性質を分析するため、位相的データ解析（TDA）の原則を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心性測度はどのように一般化され、高次ネットワークにおける単体的コミュニティの関連性を捉えることができるか？
• RQ2 高次次数は、単体複合体における接続性およびコミュニティ構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 単体複合体におけるウォークおよび距離の定義は、どのように閉包性および媒介性中心性の一般化を可能にするか？
• RQ4 提案されたクラスタリング係数は、個々のノードを越えたコミュニティレベルのクラスタリングをどのように明らかにするか？
• RQ5 これらの新しい測度は、単体ネットワークにおけるクリークおよび協働コミュニティの進化を理解するのにどのように寄与するか？

主な発見

• 提案された高次中心性測度は、単体ネットワークにおける個々の単体および協働コミュニティの関連性を効果的に定量化している。
• 単体複合体への閉包性および媒介性中心性の一般化により、高次構造を横断する情報伝達効率の評価が可能になった。
• 単体クラスタリング係数はコミュニティレベルのクラスタリングを捉えており、クリークおよび準コミュニティの形成と安定性に関する洞察を提供する。
• 高次次数分布は、異なる次元の単体における構造的非均一性および接続パターンを明らかにする。
• 統一的かつスケーラブルな測度を用いることで、単体ネットワークのトポロジカルおよびダイナミカルな性質の分析が可能になった。
• TDAとネットワーク科学の統合により、多数体相互作用を有する複雑系を研究するための堅牢な基盤が提供された。