[論文レビュー] Certain classes of bi-univalent functions related to Shell-like curves connected with Fibonacci numbers

N. Magesh, V. K. Balaji+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、貝殻型曲線およびフィボナッチ数と関連する新しい双正則関数のクラスを導入し、第二および第三のテイラー＝マクローリン係数およびフェケーテ＝シュタイゲン不等式の推定値を導出する。微分作用素の一般化を用いた劣微分および係数の有界性を用いて、黄金比に関連するパラメータ $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ を含む鋭い有界性を確立し、複素平面における双正則関数に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Recently, in their pioneering work on the subject of bi-univalent functions, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} actually revived the study of the coefficient problems involving bi-univalent functions. Inspired by the pioneering work of Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG}, there has been triggering interest to study the coefficient problems for the different subclasses of bi-univalent functions. Motivated largely by Ali et al. \cite{Ali-Ravi-Ma-Mina-class}, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} and Güney et al. \cite{HOG-GMS-JS-Fib-2018} in this paper, we consider certain classes of bi-univalent functions related to shell-like curves connected with Fibonacci numbers to obtain the estimates of second, third Taylor-Maclaurin coefficients and Fekete - Szegö inequalities. Further, certain special cases are also indicated. Some interesting remarks of the results presented here are also discussed.

研究の動機と目的

• 貝殻型曲線およびフィボナッチ数と関連する新しい双正則関数の部分クラスを導入し、それらを研究すること。
• これらのクラスにおける第二および第三のテイラー＝マクローリン係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い推定値を導出すること。
• 係数関数 $|a_3 - \mu a_2^2|$ に対するフェケーテ＝シュタイゲン型不等式を確立すること。
• 単位円板における双正則関数の係数有界性に関する先行研究を一般化・拡張すること。

提案手法

• 著者らは、フィボナッチ数および黄金比に関連する生成関数 $\tilde{p}(z)$ を用いた劣微分を用いて、新しいクラス $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$、$\mathcal{B}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\alpha,\tilde{p})$、および $\mathcal{H}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\tilde{p})$ を定義する。
• 単位円板 $\mathbb{D}$ における正則関数を微分作用素 $\mathcal{D}^n$ を用いて定義し、単一正則性および双正則性を保証する。
• 主な技術的アプローチは、劣微分を用いた係数有界性の表現と、正則関数の実部を制御するためのカラテオドリ関数族 $\mathcal{P}$ の応用である。
• フェケーテ＝シュタイゲン不等式は、パラメータ $\mu$ に依存する関数 $h(\mu)$ を用いて導出され、$|h(\mu)|$ の大きさに応じた区分的有界性が得られる。
• パラメータ $\tau = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0.618$ は中心的役割を果たし、黄金比から生じ、貝殻型曲線の幾何学的性質を定義する。
• 特殊ケースが [10] および [23] における既知の有界性に還元されることを示し、先行研究と整合性があることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 貝殻型曲線およびフィボナッチ数と関連する双正則関数における第二および第三のテイラー＝マクローリン係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い推定値は何か？
• RQ2 これらの新しいクラスにおける係数関数 $|a_3 - \mu a_2^2|$ に対するフェケーテ＝シュタイゲン不等式はどのように振る舞うか？
• RQ3 パラメータ $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ は、係数有界性および関数の幾何的性質にどのように寄与するか？
• RQ4 新しいクラスは、特に [10] および [23] における結果をどのように一般化または拡張するか？
• RQ5 パrameter $\gamma$、$\lambda$、または $\alpha$ がゼロまたは他の臨界値に近づく際の係数有界性の極限的挙動は何か？

主な発見

• クラス $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$ における $|a_2|$ の有界性は $\frac{|\gamma||\tau|}{\sqrt{3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2}}$ であり、$\gamma$、$\lambda$、および $\tau$ に明示的に依存する。
• 同じクラスにおける $|a_3|$ の有界性は $\frac{4|\gamma||\tau|(1-3\tau)(1+\lambda)^2}{3(1+2\lambda)[3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2]}$ であり、$\gamma$、$\lambda$、および $\tau$ に非線形に依存する。
• 係数関数 $|a_3 - \mu a_2^2|$ に対するフェケーテ＝シュタイゲン関数は区分的である：$|h(\mu)| \leq \frac{|\gamma||\tau|}{12+24\lambda}$ の場合、有界性は $\frac{|\gamma||\tau|}{3+6\lambda}$ であり、それ以外の場合は $4|h(\mu)|$ である。ここで $h(\mu)$ は $\mu$、$\gamma$、および $\tau$ の有理関数として定義される。
• 特殊ケース $\gamma = 1$、$\lambda = 0$ の場合、有界性は [10, 系1] におけるものに還元され、既知の結果と整合性が確認される。
• $\mathcal{K}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\tilde{p})$ に対して、$|a_2|$ の有界性は $\frac{|\tau|}{\sqrt{4 - 10\tau}}$、$|a_3|$ の有界性は $\frac{|\tau|(1 - 4\tau)}{6 - 15\tau}$ であり、[10, 系5] と一致する。
• パラメータ $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ が根本的であることが示され、黄金比から生じ、貝殻型曲線の幾何学的性質を支配する。このため、結果はフィボナッチ数列と密接に結びついている。