[論文レビュー] Certain logarithmic integrals, including solution of Monthly problem #tbd, zeta values, and expressions for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Re(σ) > −1 に対して ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx の閉形式表現を導出し、長年の問題である対数積分の解を提示する。これは Monthly 問題の一般化である。pₙ 係数は Nörlund 数と関連し、母関数および超幾何恒等式を用いて Stieltjes 定数およびゼータ関数値を表現し、γ₁、γ₂、および Hurwitz ゼータ関数の新しい積分表現を提供する。

ABSTRACT

We solve problem x proposed by O. Oloa, AMM xxx 2012 {\bf 119?} (to appear), p. yyy for certain definite logarithmic integrals. A number of generating functions are developed with certain coefficients $p_n$, and some extensions are presented. The explicit relation of $p_n$ to Nörlund numbers $B_n^{(n)}$ is discussed. Certain inequalities are conjectured for the $\{p_n\}$ sequence of coefficients, including its convexity, and an upper bound is demonstrated. It is shown that $p_n$ values may be used to express the Stieltjes constants for the Hurwitz and Riemann zeta functions, as well as values of these zeta functions at integer argument. Other summations with the $p_n$ coefficients are presented.

研究の動機と目的

• O. Oloa が 2012 年に提起した、特定の対数積分の評価に関する AMM xxx 2012 問題を解くこと。
• Re(σ) > −1 に対して ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx の閉形式表現を導出し、元の問題における σ ≥ 0 の制限を超えて一般化すること。
• pₙ 係数と既知の特殊数、特に Nörlund 数 Bₙ⁽ⁿ⁾ 間の関係を確立し、その解析的性質を調査すること。
• Riemann および Hurwitz ゼータ関数の Stieltjes 定数 γₖ を pₙ 係数および積分表現を用いて表現すること。
• 対数積分構造を含む新しい母関数および積分表現を開発し、それらを polygamma 関数および Barnes G 関数と結びつけること。

提案手法

• 係数 pₙ を pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∫₀¹(−x)ₙ dx で定義する。ここで (x)ₙ は Pochhammer 記号を表す。
• |z| < 1 に対して ∑ₙ₌₁^∞ pₙ₊₁ zⁿ⁻¹ = 1/z + 1/ln(1−z) である母関数を導出し、pₙ を被積分関数の対数的および有理的部品と結びつける。
• 級数の乗算および微分を用いて恒等式 (1/ln(1−z) + 1/z)² = 1/4 + ∑ₙ₌₁^∞[(n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂]zⁿ を導出し、項別積分を可能にする。
• Beta 関数 B(n+1, σ+1) を用いて、∫₀¹[(1/ln x)+(1/(1−x))]²x^σ dx を pₙ と B(n+1, σ+1) を含む級数として表現する。
• 超幾何恒等式および Hurwitz ゼータ関数および Lerch ゼータ関数の積分表現を用いて、ゼータ関数値および Stieltjes 定数を表現する。
• 積分恒等式 ∫₀¹ x^σ ψ(x+1) dx = 1 − ½ ln(2π) と Barnes G 関数の性質を用いて、最終式における定数項を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Re(σ) > −1 に対して ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx の閉形式評価は何か？
• RQ2 pₙ 係数はどのように定義され、Nörlund 数 Bₙ⁽ⁿ⁾ と何の関係にあるか？
• RQ3 Riemann および Hurwitz ゼータ関数の Stieltjes 定数 γₖ を pₙ 係数で表現できるか？
• RQ4 pₙ 構造を用いて Hurwitz ゼータ関数およびその導関数の積分表現をどのように導出できるか？
• RQ5 畳み込み恒等式 (n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂ = ∑ₖ₌₁ⁿ⁺¹ pₖ₊₁pₙ₋ₖ₊₃ を説明する組合せ的または超幾何恒等式は存在するか？

主な発見

• ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]² dx は正確に ln(2π) − 3/2 に評価され、Monthly 問題の (a) 項が解決される。
• Re(σ) > −1 に対して、一般化された積分は (σ+1)ln(σ+1) − 2σ + σψ(σ+1) − 2lnΓ(σ+1) + ln(2π) − 3/2 に評価され、ψ および Γ はそれぞれディガマ関数およびガンマ関数を表す。
• 係数 pₙ は再帰関係 pₙ₊₁ = 1/(n+1) − ∑ⱼ₌₁ⁿ⁻¹ pⱼ₊₁/(n−j+1) を満たし、明示的に pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∑ₖ₌₁ⁿ s(n,k)/(k+1) で与えられる。ここで s(n,k) は第一種スターリング数を表す。
• 列 {pₙ} は凸であると予想され、上界で有界である。n ≥ 5 に対して pₙ₊₁ ≤ pₙ である不等式が示されている。
• Stieltjes 定数 γ₁ および γ₂ は、ディログラムおよびその導関数を含む積分で表現される：γ₁ + γ² = ∫₀^∞ [γ ln(1+1/u) + ∂ₛ|ₛ₌₁ Liₛ(−1/u)] / (ln²u + π²) du。
• 新しい積分表現が導出された：ζ(s) − 1/(s−1) = −∫₀^∞ Liₛ(−v) / [v²(ln²v + π²)] dv であり、これは s=1 における k 階微分を用いて γₖ に一般化可能である。