[論文レビュー] Sums of alternating products of Riemann zeta values and solution of a Monthly problem

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文はアメリカン・マス・モナリーの問題11585を解決し、リーマン・ゼータ関数値の交互積を含む無限和の正確な評価を証明している。特殊関数論、部分和法、積分表現を用いて、次の閉形式の結果が得られた：$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k}\left[\sum_{m=1}^{k-2} \zeta(k-m)\zeta(m+1) - k\right] = 3 + \gamma^2 + 2\gamma_1 - \frac{\pi^2}{3}$、ここで $\gamma$ はオイラー＝マスケローニ定数、$\gamma_1$ は最初のステルティウス定数である。

ABSTRACT

We solve problem 11585 proposed by B. Burdick, AMM June-July 2011 {\bf 118} (6), p. 558 for the sum of certain products of Riemann zeta function values. We further point out an alternating sum analog, and then present and prove different alternating sum analogs. In addition, we present summation by parts and other results for the Hurwitz and Riemann zeta functions and for the digamma and trigamma functions.

研究の動機と目的

• アメリカン・マス・モナリーの問題11585を解決すること。この問題は、リーマン・ゼータ関数値の積を含む複雑な無限和の評価を含む。
• 元の和の交互和の類似形を導出し、特にゼータ関数の積に交互符号を含む形で評価すること。
• 解析的整数論に有用な、ハイワースト・ゼータ、リーマン・ゼータ、ディガンマ、トライガンマ関数に対する新しい部分和法の恒等式を確立すること。
• 関数 $\xi(x)$ の積分表現および級数展開を探索・導出すること。この関数は、ディガンマ関数の二乗および最初のステルティウス定数に関連している。
• 部分和法および級数変形を用いて、[4] に記載された既知の積分表現を修正・精錬すること。

提案手法

• 恒等式 $2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi(n)}{n^k} = k\zeta(k+1) - 2\gamma\zeta(k) - \sum_{\ell=1}^{k-2} \zeta(\ell+1)\zeta(k-\ell)$ を用いる。ここで $\psi(n) = H_{n-1} - \gamma$ である。
• 主和を、$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{\zeta(k)-1}{k}$ および $\sum_{k=3}^{\infty} (\zeta(k+1)-1)$ といった基本的要素に分解し、幾何級数および対数展開を用いる。
• ハイワースト・ゼータおよびポリガンマ関数に対して、部分和法を体系的に適用し、$\zeta(s+1,a) = \sum_{r=0}^{\infty} [\psi(a+r+1) - \psi(a)] \left( \frac{1}{(r+a)^s} - \frac{1}{(r+a+1)^s} \right)$ といった新しい恒等式を導出する。
• 関数 $\xi(x)$ を導入し、積分形で表現する：$\xi(x) = \int_0^\infty (e^{(1-x)t} - 1) \frac{\ln(1 - e^{-t})}{1 - e^t} dt$ および $\xi(x) = \int_0^1 (u^{x-1} - 1) \frac{\ln(1 - u)}{u - 1} du$。
• 既知の対数的調和和の恒等式、例えば $\sum_{n=2}^\infty \left( \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) - \frac{1}{n} \right) = 1 - \gamma$ を用いて、重要な部分和を評価する。
• 数値的検証は、既知の値 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$、$\zeta(3) \approx 1.202$、$\gamma \approx 0.5772$ を用い、最終的な簡略化に使用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題11585で提示された、$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k} \left[ \sum_{m=1}^{k-2} \zeta(k-m)\zeta(m+1) - k \right]$ の正確な値は何か？
• RQ2 元のゼータ積和の交互和類似形を導出し、閉形式で評価できるか？
• RQ3 ハイワースト・ゼータ、ディガンマ、トライガンマ関数に対して、どのような新しい部分和法の恒等式を確立できるか？
• RQ4 ディガンマ関数 $[\psi(x) + \gamma]^2$ に関連する関数 $\xi(x)$ を、積分形式および級数形式でどのように表現できるか？
• RQ5 部分和法技術を用いて、ゼータ関数および関連関数の既存の積分表現にどのような修正や精錬を加えることができるか？

主な発見

• 主和は正確に $3 + \gamma^2 + 2\gamma_1 - \frac{\pi^2}{3}$ に評価され、ここで $\gamma$ はオイラー＝マスケローニ定数、$\gamma_1$ は最初のステルティウス定数である。
• 交互和類似形が導出された：$\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{2r+1} \left[ \sum_{\ell=1}^{2r-1} (-1)^{\ell+1} \zeta(\ell+1)\zeta(2r-\ell+1) - 2 \right] = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) + 2 - \zeta(2) - 2\gamma_1 - \gamma^2 - \ln 2$。
• 積分表現 $\int_0^\infty \frac{\sin u}{u} e^{-ku} du = \cot^{-1}k$ が、積分記号下での微分および数値的検証を経て導出された。
• 関数 $\xi(x)$ が $\xi(x) = \sum_{n=1}^\infty H_n \left( \frac{1}{x+n} - \frac{1}{n+1} \right)$ を満たし、$[0,1]$ 上での積分が $\frac{1}{2}(\zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1)$ に等しいことが示された。
• [4] の式 (44.8.5) に対する修正がなされ、元の積分表現には調整が必要であることが示され、部分和法を用いて新たな有効な形が導出された。
• 恒等式 $\lim_{s \to 0} [\zeta'(s+1,a) - \zeta'(s+1,b)] = \gamma_1(b) - \gamma_1(a)$ が確認され、$\gamma_1 - \gamma_1(1/2) = \ln^2 2 + 2\gamma \ln 2$ が導かれた。