[論文レビュー] Chance constrained sets approximation: A probabilistic scaling approach -- EXTENDED VERSION

Martina Mammarella, Victor Mirasierra+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2021

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制御可能な複雑さを持つ単純近似集合（SAS）を用いて、確率的制約付き集合を近似するための確率的スケーリング手法を提案する。サンプルに基づくSAS構築と確率的スケーリング手順を組み合わせることで、高い信頼性をもって所望の違反確率を満たすことが保証され、共同確率的制約下での確率的モデル予測制御および確率的集合メンバーシップ推定のための効率的解法が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, a sample-based procedure for obtaining simple and computable approximations of chance-constrained sets is proposed. The procedure allows to control the complexity of the approximating set, by defining families of simple-approximating sets of given complexity. A probabilistic scaling procedure then allows to rescale these sets to obtain the desired probabilistic guarantees. The proposed approach is shown to be applicable in several problem in systems and control, such as the design of Stochastic Model Predictive Control schemes or the solution of probabilistic set membership estimation problems.

研究の動機と目的

• 計算的に効率的な手法を開発し、確率的実行可能性の保証を伴って確率的制約付き集合を近似すること。
• 事前に定義された単純近似集合（SAS）の族を通じて、近似集合の複雑さを制御可能にすること。
• 個々の制約よりも現実的だがより複雑な共同確率的制約を扱えるように、サンプルに基づく近似技術を拡張すること。
• 確率的モデル予測制御（SMPC）および確率的集合メンバーシップ推定に適用可能な統一的フレームワークを提供すること。
• 提案されたスケーリング手順の確率的保証を数学的に分析し、厳密に証明すること。

提案手法

• 本手法は2段階の手続きを用いる：まず、サンプルデータから所定の複雑さの単純近似集合（SAS）を構築する。
• 次に、所望の違反確率を高い信頼性で満たすためにSASを再スケーリングする確率的スケーリング手順を適用する。
• 順序統計と二項尾確率の境界を活用して、確率的実行可能性を保証する最小スケーリング係数を決定する。
• SASの2つのクラスをサポートする：サンプルされた多面体とノルムに基づく集合（一般化されたノルムを含む）で、より広範な適用性を実現する。
• 統計的学習と順序統計の理論的結果に基づいており、有限標本における確率的保証を保証する。
• スケーリング係数は、許容可能な制約違反数rに対し、標本ベースの実行可能性測度の(r+1)番目の順序統計として計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算的に実行可能な内側近似を、確率的実行可能性の保証とともに、確率的制約付き集合に対して構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 不確実性が存在する中で、所望の違反確率を高い信頼性で満たすために必要な最小標本サイズは何か？
• RQ3 確率的保証を損なわずに、近似集合の複雑さをどのように制御できるか？
• RQ4 本手法を、複数の制約を同時に満たす必要がある共同確率的制約を扱えるように拡張できるか？
• RQ5 確率的スケーリング手順は、スケーリングされた集合が元の確率的制約付き集合の有効な内側近似のまま保たれることをどのように保証するか？

主な発見

• 提案手法は、εの違反確率が1−δ以上の信頼度で保証され、標本サイズNがε、δ、および問題の複雑さに依存することを保証する。
• 低複雑度のSAS（例：サンプルされた多面体やノルムに基づく集合）を選択することで、標本の複雑さが顕著に低減され、最適化およびスケーリングのステップが簡素化される。
• 全制約集合を1つのブール関数として扱うことで、共同確率的制約に対する確率的保証を達成し、より現実的な制御および推定問題への応用が可能になる。
• スケーリング係数は、実行可能性測度の(r+1)番目の順序統計として導出され、高確率で高々r個のサンプルがスケーリングされた集合を違反することを保証する。
• 理論的分析により、ガウス分布やパラメトリックでない不確実性分布に対しても、高い信頼度で実行可能性が維持されることを確認した。
• 数値的検証により、本手法の有効性がProbabilistic Set Membership Estimationにおいて実証され、不確実性下でも正確かつロバストな同定が可能であることが示された。