[論文レビュー] Chaos or Order

I. V. Ovchinnikov, Massimiliano Di Ventra|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Chaos control and synchronization参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的および決定論的微分方程式における自発的位相的スーパicensymmetryの破れが、連続時間力学系のカオスの最も一般的な定義を提供することを提唱する。著者らは、カオスの特徴的性質—位相的トランスティビティ、混合性、稠密な周期軌道—がこのメカニズムから生じることを示し、カオスを無秩序ではなく、低対称性で秩序ある時間的位相と再定義する。著者らはこれを「クロノタクス」と呼ぶ。

ABSTRACT

What is chaos? Despite several decades of research on this ubiquitous and fundamental phenomenon there is yet no agreed-upon answer to this question. Recently, it was realized that all stochastic and deterministic differential equations, describing all natural and engineered dynamical systems, possess a topological supersymmetry. It was then suggested that its spontaneous breakdown could be interpreted as the stochastic generalization of deterministic chaos. This conclusion stems from the fact that such phenomenon encompasses features that are traditionally associated with chaotic dynamics such as non-integrability, positive topological entropy, sensitivity to initial conditions, and the Poincare-Bendixson theorem. Here, we strengthen and complete this picture by showing that the hallmarks of set-theoretic chaos -- topological transitivity/mixing and dense periodic orbits -- can also be attributed to the spontaneous breakdown of topological supersymmetry. We also demonstrate that these features, which highlight the noisy character of chaotic dynamics, do not actually admit a stochastic generalization. We therefore conclude that spontaneous topological symmetry breaking can be considered as the most general definition of continuous-time dynamical chaos. Contrary to the common perception and semantics of the word chaos, this phenomenon should then be truly interpreted as the low-symmetry, or ordered phase of the dynamical systems that manifest it. Since the long-range order in this case is temporal, we then suggest the word chronotaxis as a better representation of this phenomenon.

研究の動機と目的

• 力学系におけるカオスの普遍的かつ受け入れられた定義が長年にわたり欠如している問題を解決すること。
• 位相的スーパicensymmetryを通じて確率的および決定論的カオスを統合する枠組みを確立すること。
• 初期条件に対する感度や位相的トランスティビティといった、従来カオスに関連づけられてきた性質が、自発的位相的スーパicensymmetryの破れから生じることを示すこと。
• カオスを無秩序ではなく、低対称性で秩序ある時間的挙動の一種として再解釈すること。
• この現象に「クロノタクス」という用語を提案し、その秩序的で時間的構造を持つ性質を反映する。

提案手法

• 位相的スーパicensymmetryの観点から確率的および決定論的微分方程式を分析すること。
• カオス的ダイナミクスの背後にあるメカニズムとして、位相的スーパicensymmetryの自発的破れを同定すること。
• 位相的エントロピーおよびPoincare-Bendixsonの定理といった位相的不変量を用いてカオス的挙動を特徴付けること。
• 位相的トランスティビティと混合性が、同じ対称性の破れメカニズムから生じることを示すこと。
• 集合論的カオスの特徴は確率的一般化が不可能であり、対称性の破れメカニズムの独自性を強化すること。
• 対称性の破れによる秩序的位相としてカオスを再解釈し、時間的長距離秩序を特徴とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自発的位相的スーパicensymmetryの破れは、連続時間力学的カオスの普遍的定義として機能しうるか？
• RQ2 位相的トランスティビティや稠密な周期軌道といった特徴は、位相的スーパicensymmetryの破れとどのように関係するか？
• RQ3 従来の確率的一般化がなぜ集合論的カオスの本質を捉えられていないのか？
• RQ4 自発的位相的対称性の破れから生じる秩序的位相の性質は何か？
• RQ5 「カオス」という用語は意味的に誤解を招くものであり、もしそうならば、この現象をより適切に表す代替用語は何か？

主な発見

• 自発的位相的スーパicensymmetryの破れは、可積分性の欠如、正の位相的エントロピー、初期条件に対する感度といったカオスのすべての核心的特徴を説明する。
• 集合論的カオスの象徴的性質である位相的トランスティビティと混合性も、同じ対称性の破れメカニズムから生じる。
• カオスの特徴は確率的一般化と整合せず、それらが根本的に位相的起源を持つことを示唆する。
• カオス現象は無秩序ではなく、時間的長距離秩序を特徴とする低対称性で秩序ある位相である。
• 著者らは、「クロノタクス」がこの現象にふさわしいより正確な用語であると結論づける。これは、その秩序的で時間的構造を持つ性質を反映する。
• この枠組みにより、決定論的および確率的力学系が、カオスの単一の位相的原理によって統合される。