[論文レビュー] CHAPLIN - Complex Harmonic Polylogarithms in Fortran

Stephan Buehler, Claude Duhr|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、任意の複素数引数に対して重み4までのすべての調和多ログリズム（HPLs）を数値的に評価する高速なFortranライブラリであるChaplinを提示する。HPLsを32個の基本関数の最小集合に還元することで、単位円内では最適化された級数展開、単位円外では逆変換関係を用いることで、高速かつ高精度な結果を達成し、複素数の運動量構成を伴う高エネルギー物理学のループ計算への効率的応用を可能にする。

ABSTRACT

Abstract We present a new Fortran library to evaluate all harmonic polylogarithms up to weight four numerically for any complex argument. The algorithm is based on a reduction of harmonic polylogarithms up to weight four to a minimal set of basis functions that are computed numerically using series expansions allowing for fast and reliable numerical results. Title of program: Chaplin Catalogue Id: AETC_v1_0 Nature of problem Numerical evaluation of harmonic polylogarithms. Versions of this program held in the CPC repository in Mendeley Data AETC_v1_0; Chaplin; 10.1016/j.cpc.2014.05.022 This program has been imported from the CPC Program Library held at Queen's University Belfast (1969-2018)

研究の動機と目的

• 任意の複素数引数に対して、重み4までの調和多ログリズム（HPLs）を高速かつ信頼性高く数値的に評価するためのライブラリを開発すること。
• 量子場の理論における次々に高次の（NNLO）計算において、HPLの効率的評価のニーズに対応すること。
• 高速性を維持しながら複素平面全域で数値的精度を保つ、Fortranベースのソリューションを提供すること。
• 質量のある粒子を含む一般の運動量構成において、HPLの正確な計算を可能にすること。

提案手法

• 重み4までのすべてのHPLsを、古典的ポリログリズムと2つの新しい重み4関数を含む32個の基本関数の最小集合に還元する。
• 単位円内では、収束が速くなるように注意深く選んだ級数展開を用いて基本関数を計算する。
• 単位円外では、引数を単位円の内部に写像する逆変換関係を適用して評価を行う。
• HPLのシャッフル代数を活用して、高重量関数を段階的に低重量成分に還元する。
• 数値的安定性と精度を確保するため、対数的およびポリログリズム的特異点を的確に取り扱い、最適化された級数展開を用いる。
• 実装は、高エネルギー物理学のパフォーマンスが求められるアプリケーションに適したFortran 77で行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素数引数に対して、重み4までの調和多ログリズムをどのように効率的かつ高精度に評価できるか？
• RQ2 高速な数値評価を可能にする最小基底集合へのHPLの最適還元は何か？
• RQ3 単位円内および外で収束が速くなるように、級数展開をどのように構築できるか？
• RQ4 このFortranベースの実装は、既存の記号的またはC++ベースのツールと比較して、性能面でどう異なるか？
• RQ5 多様な複素数の運動量構成において、この手法の数値的精度と信頼性はどの程度か？

主な発見

• Chaplinライブラリは、重みベクトルと引数に応じて、1回の呼び出しあたり0.2〜400マイクロ秒の時間で、重み4までのすべての調和多ログリズムを評価する。
• 結果は、HPL（Mathematica）およびGiNaCと比較して、z = 2.0 + 2.0iのようなテストポイントにおいて14桁以上の精度で一致する。
• 古典的ポリログリズムと2つの新しい重み4関数を含む32個の基本関数への還元により、体系的かつ効率的な評価戦略が実現された。
• 特に評価の大部分が実行される単位円内での収束を速くするように、級数展開が構築された。
• 逆変換関係の使用により、単位円外の引数に対しても信頼性の高い評価が可能となり、複素数質量スキームや一般のループ積分への応用範囲が拡張された。
• hplog（Fortran）と比較して優れたパフォーマンスを示し、GiNaCのような記号的ツールと同等の速度を達成しながら、ネイティブコンパイル可能でポータブルである。