[論文レビュー] Characteristic Classes and Integrable Systems. General Construction

A. Levin, M. A. Olshanetsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、中心が非自明な単連結単純リー群 G としての位相的に非自明な正則 G-バンドルを楕円曲線上に用いることにより、新しい古典的可積分系の族—修正カルロジェロ＝モーザー（MCM）系—を構成する。t'Hooft基底を一般化し、動的 r-行列を用いることで、Lax作用素とハミルトニアンを定義し、MCM系が非自明な特性類を持つ位相空間を実現し、標準的 CM 系がその部分代数として含まされることを示す。

ABSTRACT

We consider topologically non-trivial Higgs bundles over elliptic curves with marked points and construct corresponding integrable systems. In the case of one marked point we call them the modified Calogero-Moser systems (MCM systems). Their phase space has the same dimension as the phase space of the standard CM systems with spin, but less number of particles and greater number of spin variables. Topology of the holomorphic bundles are defined by their characteristic classes. Such bundles occur if G has a non-trivial center, i.e. classical simply-connected groups, $E_6$ and $E_7$. We define the conformal version CG of G - an analog of GL(N) for SL(N), and relate the characteristic classes with degrees of CG-bundles. Starting with these bundles we construct Lax operators, quadratic Hamiltonians, define the phase spaces and the Poisson structure using dynamical r-matrices. To describe the systems we use a special basis in the Lie algebras that generalizes the basis of t'Hooft matrices for sl(N). We find that the MCM systems contain the standard CM systems related to some (unbroken) subalgebras. The configuration space of the CM particles is the moduli space of the holomorphic bundles with non-trivial characteristic classes.

研究の動機と目的

• 中心が非自明な位相的に非自明な正則 G-バンドルを楕円曲線上に持つ可積分系を構成すること。
• バンドルの位相的性質に由来する特性類を組み込むことにより、標準的楕円カルロジェロ＝モーザー系を一般化すること。
• SL(N) に対する GL(N) に類する conformal group CG を定義し、G-バンドルの特性類と関連付けること。
• GS-基底と動的 r-行列を用いた枠組みを確立し、これらの系の Lax 作用素とハミルトニアンを構成すること。
• MCM 系が、元のリー代数の破れずに残る部分群に対応する標準的 CM 系の部分代数を含むことの証明。

提案手法

• 中心的障害 ζ ∈ Z(G) を満たす twisted な交換関係 QΛQ⁻¹Λ⁻¹ = ζ を満たす遷移作用素 Q と Λ を用いて、楕円曲面上の正則 G-バンドルを構成する。
• H²(Σ, Z(G)) の元を用いて特性類を定義し、特に単連結群（E₆ や E₇ を含む）に対して位相的に非自明な G-バンドルを分類する。
• SL(N) に対する GL(N) に類する CG を、G-バンドルの特性類と関連付ける形で導入する。
• リー代数における一般化された t'Hooft 基底を用いて Lax 作用素とハミルトニアンを構成し、標準的 CM 系の枠組みを拡張する。
• 正則関数 φᵏₐ(z) から構成される動的 r-行列を用いて、古典的 RLL 関係を導出する。この関数はワイル群作用に関して不変である。
• Fay 恒等式と楕円関数（テータ、エーゼンスタイン、ヴァイエルシュトラス）を用いて、r-行列の代数的構造を導出し、RLL 関係の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上の位相的に非自明な正則 G-バンドルは、どのように分類され、新しい可積分系の構成に用いられるか？
• RQ2 特性類は、標準的カルロジェロ＝モーザーモデルを越えて、可積分系の位相空間と力学に果たす役割は何か？
• RQ3 conformal group CG は G-バンドルの特性類とどのように関係し、Lax 作用素の構成においてどのような意義を持つのか？
• RQ4 修正カルロジェロ＝モーザー系は、どのように標準的 CM 系を一般化し、どのような部分代数を含むのか？
• RQ5 正則関数 φᵏₐ(z) から構成される動的 r-行列は、この文脈において、古典的 RLL 関係をどのように満たすのか？

主な発見

• MCM 系は、スピンを伴う標準的 CM 系と同一の位相空間次元を持つが、粒子数は少なく、スピン変数はより多い。
• 正則バンドルの特性類は H²(Σ, Z(G)) の元によって定義され、G = Spin(n) の場合、ステイフェル＝ブライトン類と一致する。
• 修正カルロジェロ＝モーザー系は、元のリー代数の破れずに残る部分群に対応する標準的 CM 系の部分代数を含む。
• 一般化された t'Hooft 基底を用いて、単純リー代数における Lax 作用素と二次ハミルトニアンが構成され、sl(N) の標準的基底を拡張する。
• 古典的動的 r-行列は、λ-不変性を満たし、RLL 関係に不可欠な Fay 恒等式を満たす正則関数 φᵏₐ(z) から導出される。
• RLL 関係は、関数 φᵏₐ(z) を用いて証明され、この関数は準周期性とワイル群作用における変換性を示し、可積分構造の整合性を保証する。