[論文レビュー] Elliptic Calogero-Moser system from two dimensional current algebra

A. Gorsky, Nikita Nekrasov|ArXiv.org|Jan 6, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 118

ひとこと要約

この論文は、楕円曲面上の $\mathfrak{sl}_N(\mathbb{C})$ ヒールト代数の中心拡大の余接 bundle から、ハミルトニアン還元を用いて楕円型 Calogero-Moser 系を導出する。零レベルのモーメント写像制約を課え、ゲージ変換を施すことで、著者たちは Krichever の Lax 演算子を導出し、得られるハミルトニアンが量子補正付き結合定数 $\nu(\nu - 1)$ を持つ楕円型 Calogero-Moser モデルを与えることを示した。これは、周期的および非周期的 Toda 鏈を極限として統一する。

ABSTRACT

We show that elliptic Calogero-Moser system and its Lax operator found by Krichever can be obtained by Hamiltonian reduction from the integrable Hamiltonian system on the cotangent bundle to the central extension of the algebra of SL(N,C) currents.Elliptic deformation of Yang-Mills theory is presented.

研究の動機と目的

• 楕円曲面上の電流代数とハミルトニアン還元を用いて、楕円型 Calogero-Moser 系の幾何学的・代数的導出を確立すること。
• 楕円曲面上の有理型切断とモノドロミー条件の観点から、Lax 演算子と可積分構造の起源を明確にすること。
• 楕円型 Calogero-Moser モデルと、仮想的な2次元ヤン・ミルズ理論の楕円型変形を結びつけること。
• バーマ加群とインターヴァリアントが楕円型の場合に果たす役割を調査し、三角関数型の場合の表現論的枠組みを一般化すること。
• Ruijsenaars モデル や Toda 鏈を含むより一般的な可積分系の極限として、この系がどのように出現するかを調査すること。

提案手法

• 楕円曲面 $\Sigma_\tau$ 上の $\mathfrak{sl}_N(\mathbb{C})$ ヒールト代数の中心拡大の余接 bundle $T^*\widehat{\mathfrak{g}}^{\Sigma_\tau}$ に対してハミルトニアン還元を実行する。
• 双対軌道 $\mathcal{O}_\nu^-$ を導入し、これは $\mathbb{C}P^{N-1}$ に微分同相であり、ファイニ・シュタート計量に比例するシンプレクティック形式を持つ。
• 零レベルでのモーメント写像条件 $\mu = \kappa \bar{\partial}\phi + [\bar{A}, \phi] = \mathrm{i} \nu (\mathrm{Id} - f \otimes f^+) \frac{\delta(z,\bar{z}) dz \wedge d\bar{z}}{\omega}$ を適用する。
• 大規模なゲージ変換を用いて $\bar{A}$ を定数対角行列に還元し、平坦接続のモジュライ空間を固定する。
• 得られた方程式系を $\phi_{ij}$ について解き、テータ関数を用いて表す： $\psi_{ij}(z) = \frac{\nu}{\kappa} \frac{\theta_{11}(z + \frac{a_{ij}}{\kappa})}{\theta_{11}(z)\theta_{11}(\frac{a_{ij}}{\kappa})}$。
• Lax 行列 $\phi(z,\bar{z})$ の不変量からハミルトニアンを抽出し、特に $\mathrm{tr}\, \phi^2$ が量子補正付きの楕円型 Calogero-Moser ハミルトニアンを与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲面上の電流代数のハミルトニアン還元から、どのように楕円型 Calogero-Moser 系を導出できるか。
• RQ2 中心拡大とシンプレクティック構造が、Lax 演算子と可積分性を実現するために果たす役割は何か。
• RQ3 有理型切断のモノドロミー性質は、スペクトル曲線と量子補正とどのように関係するか。
• RQ4 この系の場の理論的解釈として、2次元ヤン・ミルズ理論の変形としての意味は何か。
• RQ5 Ruijsenaars モデル や Toda 鏈を含むより一般的な可積分系の極限として、楕円型 Calogero-Moser モデルはどのように出現するか。

主な発見

• 楕円型 Calogero-Moser 系の Lax 行列は $\phi_{ij} = \exp\left(\pi \frac{a_{ij}(z - \bar{z})}{\kappa \tau_2}\right) \psi_{ij}(z)$ として導出され、$\psi_{ij}$ はヤコビのテータ関数で表される。
• ハミルトニアン $\mathrm{tr}\, \phi^2$ は、標準的な楕円型 Calogero-Moser ハミルトニアンを与える： $\sum_i \frac{1}{2} p_i^2 + \frac{\nu^2}{\kappa^2} \sum_{i<j} \wp\left(\frac{a_{ij}}{\kappa}\right) - \wp(z)$。
• 結合定数 $\nu^2$ は量子補正により $\nu(\nu - 1)$ に修正され、既知の可積分系の結果と整合する。
• この系は、$a_i = x_i + (j-1)\frac{b}{\kappa}$ とスケーリングし、$b \to \infty$ の極限として、周期的および非周期的 Toda 鏈を統一的に得る。
• モデルは、作用 $S_\tau = \int_{\Sigma_\tau \times S} \omega \wedge \mathrm{tr}(\phi F_{t\bar{z}} - \varepsilon \phi^2)$ を持つ、2次元ヤン・ミルズ理論の楕円型変形の還元として解釈される。
• 表現論的構造は三角関数型の場合を一般化し、$L^2(\widehat{\mathfrak{g}})$ の分解において、有限次元的 $\alpha \otimes \alpha^*$ の代わりにバーマ加群 $M_{\lambda,\kappa} \otimes M_{\lambda,\kappa}^*$ が導入される。