[論文レビュー] Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on hyperkaehler manifolds

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素シンプレクティック多様体 $X$ 内の滑らかな除集合 $D$ における特徴的 foliation が代数的である条件を分類し、非有理的葉を持つような foliation が生じうるのは、$X$ がシンプレクティック曲面と他のシンプレクティック多様体の積であり、$D$ がその曲面上の曲線の引き戻しである場合に限ることを証明している。主な洞察は、葉の族のオーロラ型基底の標準類が自明であることから、ファイブレーションが等質的であることが示され、$D$ の幾何構造が制限されることにある。

ABSTRACT

We prove that the characteristic foliation $F$ on a non-singular divisor $D$ in an irreducible projective hyperkaehler manifold $X$ cannot be algebraic, unless the leaves of $F$ are rational curves or $X$ is a surface. More generally, we show that if $X$ is an arbitrary projective manifold carrying a holomorphic symplectic $2$-form, and $D$ and $F$ are as above, then $F$ can be algebraic with non-rational leaves only when, up to a finite étale cover, $X$ is the product of a symplectic projective manifold $Y$ with a symplectic surface and $D$ is the pull-back of a curve on this surface. When $D$ is of general type, the fact that $F$ cannot be algebraic unless $X$ is a surface was proved by Hwang and Viehweg. The main new ingredient for our results is the observation that the canonical bundle of the (apriori, orbifold; but the orbifold structure is actually trivial) base of the family of leaves must be torsion. This implies, in particular, the isotriviality of the family of leaves of $F$. We also make some remarks in the Kähler case and apply this to the Lagrangian conjecture in the last section.

研究の動機と目的

• 複素シンプレクティック多様体 $X$ 内の滑らかな除集合 $D$ における特徴的 foliation が代数的である条件を特定すること。
• foliation が代数的でかつ葉の genus が $g > 0$ である場合、$X$ と $D$ の幾何的構造を同定すること。
• 一般型除集合に関する Hwang と Viehweg の結果を、非ユニルーデッド除集合のより広い場合に拡張すること。
• 葉の族のオーロラ型基底の標準類が自明であることを確立し、これによりファイブレーションが等質的であることを示すこと。

提案手法

• 滑らかな除集合 $D$ 上の特徴的 foliation $\mathcal{F}$ を、制限された複素シンプレクティック形式 $\sigma|_D$ の核として定義し、これは階数1の foliation である。
• $(d-1)$-形式 $\omega = \sigma^{\wedge(n-1)}$ が $D$ 上に消失しないことを利用して、foliation を代数的に定義する。
• 代数的 foliation $\mathcal{F}$ に関連するファイブレーション $f: D \to B$ を分析し、それが codimension 1 で多重ファイバーを持たない等質的であることを示す。
• シンプレクティック構造と foliation の幾何から、オーロラ型基底 $B$ の標準類 $K_B$ が自明であることを証明する。
• アーブァネーゼ写像と変形理論を用いて Iitaka ファイブレーションのファイバー $F$ を分析し、$F$ がトーラスであるか、アーブァネーゼ次元が $n-1$ であることを示し、これにより foliation に制約を課す。
• 付随公式と $K_D$ が nef かつ豊富であることから、$K_D$ が数的に自明であるとき、葉は楕円曲線でなければならないことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素シンプレクティック多様体 $X$ 内の滑らかな除集合 $D$ における特徴的 foliation が代数的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 特徴的 foliation の葉が非有理的曲線であるのはいつか、そしてこれは $X$ と $D$ の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ3 特徴的 foliation の葉の族の基底の構造は何か？ その標準類の性質は？
• RQ4 葉の族の等質的性は、$D$ 上の可能な変形やファイブレーションにどのような制約を課えるか？
• RQ5 $K_D$ が半アーベル的であるとき、$\mathcal{O}_X(D)$ の半アーベル性にどのような意味があるか？

主な発見

• 複素シンプレクティック多様体 $X$ 内の滑らかな除集合 $D$ における特徴的 foliation $\mathcal{F}$ が非有理的葉をもつ代数的 foliation であるためには、$X$ が表面であるか、有限エタール被覆を通じてシンプレクティック曲面と他のシンプレクティック多様体の積に同型でなければならない。
• もし $D$ が非ユニルーデッドで、$\mathcal{F}$ が genus $g > 0$ をもつ代数的 foliation であるならば、$X$ は有限エタール被覆を介して $S \times Y$ に同型であり、$S$ はシンプレクティック曲面で、$D = C \times Y$ となる曲線 $C \subset S$ が存在し、foliation は $S$ 上のファイブレーションの引き戻しである。
• 葉の族のオーロラ型基底 $B$ の標準類 $K_B$ は自明であり、これはファイブレーション $f: D \to B$ が等質的であることを示唆する。
• もし $K_D$ が半アーベル的であれば、$\mathcal{O}_X(D)$ も半アーベル的であり、これは次元 $2n-1$ における豊富性予想が成り立つ場合に成立する。次元3ではこの予想は既に知られている。
• 次元4の非分解型ハイパーカイラー多様体 $X$ に対して、$D$ が滑らかで有効かつネフな除集合であれば、$\mathcal{O}_X(D)$ は半アーベル的であり、この場合にラグランジュ予想が正当化される。
• foliation $\mathcal{F}$ の葉は有理曲線または楕円曲線である。特に $K_D$ が数的に自明で、$F$ が Iitaka ファイブレーションのファイバーであるとき、$F$ はトーラスでなければならないか、アーブァネーゼ次元が $n-1$ でなければならない。その場合、葉は楕円曲線である。