[論文レビュー] Characterization of atomic decompositions, Banach frames, Xd-frames, duals and synthesis-pseudo-duals, with application to Hilbert frame theory

Diana T. Stoeva|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間およびヒルバート空間におけるアトミック分解、バナッハフレーム、Xd-フレーム、およびそれらの双対について包括的な特徴付けを提供し、級数展開におけるフレーム列と非フレーム列の入れ替え可能性に焦点を当てる。合成および解析の擬似双対を導入し、このような非フレーム列が必然的にフレームであるための条件を確立し、ヒルバートフレーム理論に応用することで、合成作用素の核が有限次元であるフレームに対して、すべての擬似双対が双対フレームであることを示している。

ABSTRACT

In this paper we consider series expansions via a frame and a non-frame and the possibilities for interchange of the two sequences, both in the Hilbert and Banach space setting. First we give a characterization of frame-related concepts in Banach spaces (atomic decompositions, Banach frames, $X_d$-Riesz bases, $X_d$-frames, $X_d$-Bessel sequences, and sequences satisfying the lower $X_d$-frame condition). We also determine necessary and sufficient conditions for operators to preserve the type of the concepts listed above. Then we discuss differences and relationships between expansions in a Banach space and its dual space when interchanging the involved sequences. Finally, we apply some of the results to answer problems in Hilbert frame theory. We show that interchanging a frame and a non-Bessel sequence in series expansions is not always possible (leading to differentiation of analysis- and synthesis-pseudo-duals of a frame) and determine an appropriate subspace where interchange can be done. We characterize all the synthesis-pseudo-duals of a frame and determine a class of frames whose synthesis-pseudo-duals (resp. analysis-pseudo-duals) are necessarily frames. We also investigate connections between the lower frame condition and series expansions. Examples are given to illustrate statements in the paper and to show the optimality of some results.

研究の動機と目的

• バナッハ空間におけるアトミック分解、バナッハフレーム、Xd-フレーム、および関連概念を特徴付けること。
• 作用素がフレーム型性質を保存するための必要十分条件を特定すること。
• バナッハ空間およびヒルバート空間における級数展開におけるフレーム列と非フレーム列の入れ替え可能性を調査すること。
• 結果をヒルバートフレーム理論に応用し、特に合成および解析の擬似双対に焦点を当てる。
• すべての擬似双対が必然的にフレームであるようなフレームのクラスを特定すること。

提案手法

• バナッハ空間におけるアトミック分解、バナッハフレーム、Xd-フレーム、Xd-ベッセル列、および下位Xd-フレーム条件を特徴付ける。
• 双対性および有界性の議論を用いて、フレーム型性質を保存する作用素の条件を確立する。
• 双対空間における級数展開を分析し、バナッハ空間およびヒルバート空間における列の入れ替え可能性を比較する。
• 合成擬似双対（s-擬似双対）および解析擬似双対（a-擬似双対）を、双対フレーム再構成方程式の一方のみを満たす列として定義する。
• 合成作用素 T_G の核を用いて、擬似双対が必然的にフレームである条件を特定し、[31]および[13]の結果を活用する。
• ℓ²収束および直交補空間の議論を含む関数解析的道具を用いて、(c_i) ∈ ℓ² ならば (⟨f_i, g⟩) ∈ ℓ² が g ∈ H に対して成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ベッセル列が級数展開においてフレームと入れ替え可能となる条件は何か？
• RQ2 合成または解析の擬似双対がすべて必然的にフレームであるのはいつか？
• RQ3 下位フレーム条件と擬似双対列の存在との関係は何か？
• RQ4 バナッハ空間およびヒルバート空間における作用素変換の下でフレーム性質はどのように振る舞うか？
• RQ5 合成作用素の核が擬似双対のフレーム性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 合成作用素 T_G の核が有限次元であるフレームに対しては、すべての s-擬似双対およびすべての a-擬似双対が必然的に双対フレームである。
• すべての擬似双対がフレームであるようなフレームのクラスには、リース基底および核が有限次元である特定の過剰フレームが含まれる。
• フレームと非ベッセル列を級数展開で入れ替えることは常に可能ではなく、このような入れ替えは特定の部分空間でのみ有効である。
• フレームのすべての合成擬似双対は、すべての f ∈ H に対して ∑⟨f, g_i⟩f_i = f を満たす列 (f_i) として特徴付けられる。
• 解析擬似双対は、すべての g ∈ H に対して ∑⟨g, f_i⟩g_i = g を満たす列 (f_i) として特徴付けられる。
• 本稿は、[34, Prop. 4.10]における擬似フレーム表現に関する記述が誤りであることを示しており、例5.1によってその反例が提示されている。