[論文レビュー] Characterization of Image Spaces of Riemann-Liouville Fractional Integral Operators on Sobolev Spaces $W^{m,p}(\Omega)$

Lijing Zhao, Weihua Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Sobolev空間 $W^{m,p}(Ω)$ 上におけるRiemann-Liouville分数階積分作用素の像空間を特徴づけ、これらの空間およびその交わりの同値な特徴づけを提供する。像空間に属する関数は境界点で特定の正則性を示し、境界付近で漸近的減衰を示すことが明らかになった。具体的には、Jacobi多項式およびLegendre多項式を用いた明示的表現が得られている。主な貢献は、これらの像空間内において、tempered分数階作用素がRiemann-Liouville作用素と逆作用素の関係にあたることを確立したことであり、分数階PDEの数値解法に対する理論的支援を提供する。

ABSTRACT

Fractional operators are widely used in mathematical models describing abnormal and nonlocal phenomena. Although there are extensive numerical methods for solving the corresponding model problems, theoretical analysis such as the regularity result, or the relationship between the left-side and right-side fractional operators are seldom mentioned. In stead of considering the fractional derivative spaces, this paper starts from discussing the image spaces of Riemann-Liouville fractional integrals of $L_p(\Omega)$ functions, since the fractional derivative operators that often used are all pseudo-differential. Then high regularity situation---the image spaces of Riemann-Liouville fractional integral operators on $W^{m,p}(\Omega)$ space are considered. Equivalent characterizations of the defined spaces, as well as of the intersection of the left-side and right-side spaces are given. The behavior of the functions in the defined spaces at both the nearby boundary point/ponits and the points in the domain are demonstrated in a clear way. Besides, tempered fractional operators show to be reciprocal to the corresponding Riemann-Liouville fractional operators, which is expected to make some efforts on theoretical support for relevant numerical methods. Last, we also provide some instructions on how to take advantage of the introduced spaces when numerically solving fractional equations.

研究の動機と目的

• 数学的モデルにおける分数階作用素の明確な理論的正則性解析の欠如に対処すること。
• Riemann-Liouville分数階積分作用素の $W^{m,p}(Ω)$ 上における像空間を、境界の挙動と正則性に焦点を当てて特徴づけること。
• 左側および右側分数階作用素の関係を明確にし、解の正則性に与える影響を解明すること。
• 分数階解の真の正則性を捉える関数空間を同定することで、数値解法の理論的基盤を提供すること。
• これらの像空間を、分数階微分方程式の数値的解法に実用的に応用するための指針を提示すること。

提案手法

• 本稿は、$L^p(\Omega)$ における像空間フレームワークを $W^{m,p}(\Omega)$ に拡張し、Riemann-Liouville分数階積分の像に属する関数の構造を分析する。
• 多項式展開と境界付近での漸近的挙動を用いて、像空間およびその交わりの同値な特徴づけを提供する。
• 像空間に属する関数は、内部の滑らかな部分と、特定の特異的挙動を示す境界層部分に分解され、Jacobi多項式およびLegendre多項式を用いて表現される。
• 重み付きSobolev空間と漸近展開を用いて、特に $x = -1$ における境界点での正則性を記述する。
• 像空間 $L^p(\Omega)$ 内で、tempered分数階作用素とRiemann-Liouville作用素の間の逆作用関係を確立する。
• 数値的実装は、境界条件を $\phi_n^{(k)}(-1) = 0$ で満たす直交多項式基底を用いた近似の構築によって導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riemann-Liouville分数階積分の像空間に属する関数、特に $W^{m,p}(\Omega)$ 上での正則性構造は、どのように正確に特徴づけられるか？
• RQ2 境界点における特異性が、分数階PDEの解の全体的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 左側および右側分数階作用素の像空間の間には、どのような関係があるか？
• RQ4 分数階積分の像空間を、分数階方程式の数値解法における収束性および安定性の向上に利用できるか？
• RQ5 境界付近での漸近的挙動を、スペクトル近似において体系的かつ効果的に表現・利用する方法は何か？

主な発見

• Riemann-Liouville分数階積分の像空間 $W^{m,p}(\Omega)$ に属する関数は、内部では滑らかであるが、特に $x = -1$ 付近で特定の正則性と漸近的減衰を示す。
• 像空間に属する関数は、$v_1(x) \in (x+1)^{\gamma_1 - \gamma_2} P_{m-1}(x)$ である多項式部 $v_1(x)$ と、$x \to -1$ のとき $v_2(x) = o((x+1)^{m + \gamma_1 - \gamma_2 - 1/2})$ となる剰余部 $v_2(x)$ に分解可能である。
• 左側および右側像空間の交わりは、境界挙動を制御する直交多項式展開を用いた同値な特徴づけを備える。
• 像空間 $L^p(\Omega)$ 内で、tempered分数階作用素がRiemann-Liouville作用素と逆作用関係にあたることが示され、数値スキームの理論的裏付けが得られた。
• $u(x) \in I^{\gamma_1}_{(-1)+}[H^m(\Omega)]$ のとき、変分定式化における関数 $h(x)$ は $H^m(\Omega)$ に属し、$h(x) = \hat{h}_1(x, \gamma_1, \gamma_2) + \hat{h}_2(x, \gamma_1, \gamma_2)$ と表される。ここで $\hat{h}_1 \in (x+1)^{\gamma_1 - \gamma_2} P_{m-1}(x)$ で、$\hat{h}_2 = o((x+1)^{m + \gamma_1 - \gamma_2 - 1/2})$ である。
• $\gamma_1 \in (1, 3/2)$ のとき、近似 $\tilde{u}_N(x)$ は $\phi_n(x)$ を用いて構築され、$k = 0, \dots, m$ に対して $\phi_n^{(k)}(-1) = 0$ を満たすことで境界適合性が保証される。