[論文レビュー] Characterization of multivariate Bernoulli distributions with given margins

Roberto Fontana, Patrizia Semeraro|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられた周辺確率を持つ多次元ベルヌーイ分布を特徴付けるための新規手法を提案する。Fréchet型クラスを放射密度の凸包として表現することで、与えられた周辺分布と整合性を持つターゲット相関行列の検証が可能となり、有効な同時密度を構築するための線形計画法による解法が得られる。また、代数的に明示的な相関係数の境界が導出される。

ABSTRACT

We express each Fréchet class of multivariate Bernoulli distributions with given margins as the convex hull of a set of densities, which belong to the same Fréchet class. This characterisation allows us to establish whether a given correlation matrix is compatible with the assigned margins and, if it is, to easily construct one of the corresponding joint densities. % Such %representation is based on a polynomial expression of the distributions of a Fréchet class. We reduce the problem of finding a density belonging to a Fréchet class and with given correlation matrix to the solution of a linear system of equations. Our methodology also provides the bounds that each correlation must satisfy to be compatible with the assigned margins. An algorithm and its use in some examples is shown.

研究の動機と目的

• 与えられた相関行列が多次元バイナリデータにおける指定されたベルヌーイ周辺分布と整合するかどうかを特定するという長年の課題に取り組む。
• 相関行列と周辺分布が整合する場合に、有効な同時密度を体系的に構築するための手法を提供する。
• 任意の変数数および相関構造に適用可能な、指定された周辺分布と整合するペアワイズ相関係数の明示的境界を導出する。
• 多項式および行列表現を用いた計算フレームワークを構築し、所定の周辺分布とモーメントを持つ多次元バイナリデータのシミュレーションを実現する。

提案手法

• Fréchet型クラスに属するすべての多次元ベルヌーイ分布を、そのクラスの極端点である放射密度の凸包として表現する。
• 差行列のクロネッカー積に基づく多項式および行列表現を用い、同時密度を累積分布関数の形で表現する。
• 与えられたモーメントを持つ同時密度を求める問題を、放射行列と相関制約を含む線形方程式系として定式化する。
• 4ti2ソフトウェアを用いてFréchet型クラス内のすべての極端分布を列挙し、放射行列 $ R_p $ を構築する。
• 標準的な線形計画法ツール（例：SAS/IML および Proc Lpsolve）を用いて、周辺分布および相関制約を満たす有効な密度を求める線形システムを解く。
• 放射行列の構造と線形システムを用いて、与えられた周辺分布と整合するペアワイズ相関係数の解析的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた相関行列は、多次元バイナリデータにおける指定されたベルヌーイ周辺分布と整合可能か？
• RQ2 固定されたベルヌーイ周辺分布と与えられた相関構造を満たすすべての可能な同時分布の集合は何か？
• RQ3 相関行列と周辺分布が整合する場合に、多次元バイナリデータの有効な同時密度を効率的に構築する方法は何か？
• RQ4 与えられた周辺確率と整合するペアワイズ相関係数の理論的境界は何か？
• RQ5 所定の周辺分布とモーメントを持つ多次元バイナリデータのシミュレーションは、線形方程式系の解法に還元可能か？

主な発見

• 周辺分布が与えられた多次元ベルヌーイ分布のFréchet型クラスは、有限個の放射密度の凸包として正確に特徴付けられる。
• 周辺確率が $ p = (1/4, 1/4, 1/3) $ の三変量ケースにおいて、相関係数の境界は $ -0.236 \leq \rho_{12} \leq 0.707 $、$ -0.408 \leq \rho_{13} \leq 0.816 $、$ -0.289 \leq \rho_{23} \leq 0.577 $ である。
• $ \rho_{12} = 0.3 $、$ \rho_{13} = 0.25 $、$ \rho_{23} = -0.2 $ の場合、$ \boldsymbol{f}_p^T = (0.0146, 0, 0.1197, \dots, 0.4893) $ の有効な同時密度が構築された。
• $ m = 5 $ ですべての周辺確率 $ p_i = 1/2 $ の場合、2,712 個の放射密度を含む有効な密度が正常に生成された。
• $ m = 6 $ ですべての $ p_i = 1/2 $ の場合、707,264 個の放射密度を処理でき、計算制約下でのスケーラビリティが実証された。
• 本手法により、周辺分布とモーメントが与えられた多次元バイナリデータのシミュレーションが、線形方程式系の解法に還元され、標準的な線形計画法ツールによる効率的計算が可能になった。