[論文レビュー] Characterizations of 2-local derivations and local Lie derivations on some algebras

Jun He, Jiankui Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$n > 2$ に対して、$ mathcal{A}$ がジョルダン導分に対して内導分性を持つ単位的バナッハ代数であるとき、行列代数 $M_n(\mathcal{A})$ 上の2局所導分は、必ず導分であることを確立している。さらに、因子型フォンノイマン代数、UHF代数、およびジアン＝スー代数上の2局所リー導分がリー導分であることを、リー導分の標準的分解における中心部の線形性を示すために、新規の分解技法を用いて証明している。

ABSTRACT

We prove that every 2-local derivation from the algebra $M_n(\mathcal{A})(n>2)$ into its bimodule $M_n(\mathcal{M})$ is a derivation, where $\mathcal{A}$ is a unital Banach algebra and $\mathcal{M}$ is a unital $\mathcal{A}$-bimodule such that each Jordan derivation from $\mathcal{A}$ into $\mathcal{M}$ is an inner derivation, and that every 2-local derivation on a C*-algebra with a faithful traceable representation is a derivation. We also characterize local and 2-local Lie derivations on some algebras such as von Neumann algebras, nest algebras, Jiang-Su algebra and UHF algebras.

研究の動機と目的

• $n > 2$ に対して、$ mathcal{A}$ がジョルダン導分に対して内導分性を持つ単位的バナッハ代数であるとき、行列代数 $M_n(\mathcal{A})$ 上の2局所導分を特徴づけること。
• この結果を、忠実なトレース可能な表現をもつC*-代数に拡張し、2局所導分が導分であることを示すこと。
• フォンノイマン代数、ネスト代数、UHF代数、ジアン＝スー代数を含む代数上の局所および2局所リー導分を特徴づけること。
• 2局所リー導分が特定のC*-代数およびフォンノイマン代数上でリー導分であることを、分解法を用いて証明すること。
• 因子でない有限フォンノイマン代数上で2局所リー導分がリー導分でないことがある反例を構成すること。

提案手法

• 各ジョルダン導分 $ varphi: \mathcal{A} \to \mathcal{M}$ が内導分であるという条件下で、$M_n(\mathcal{A})$ 上の任意の2局所導分が導分であることを証明すること。
• 2局所導分が各点で局所的に導分可能であり、リー導分の標準的分解の一意性を活用すること。
• 各 $A$ に対して、$ delta(A) = \delta_A(A)$ および $ tau(A) = \tau_A(A)$ を定義し、$ varphi_A = \delta_A + \tau_A$ をリー導分の標準的分解とする。
• 任意のペア $A,B$ に対して共通のリー導分 $ varphi_{A,B}$ が存在することを用いて、$ delta$ が2局所導分であり、したがって導分であることを示すこと。
• 加法性 $\tau(A+B) = \tau(A) + \tau(B)$ を示すことで、$\tau$ が線形であることを証明する。これは、$A$ または $B$ が単位元のスカラー倍であるかどうかのケース分けに基づく。
• 中心上にトレースでない関数を用いて、因子でない有限フォンノイマン代数上に非線形な2局所リー導分を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M_n(\mathcal{A})$ 上のすべての2局所導分が導分であるための条件は何か？（$n > 2$）
• RQ2 忠実なトレース可能な表現をもつC*-代数上で、すべての2局所導分が必ず導分であるか？
• RQ3 因子型フォンノイマン代数、UHF代数、ジアン＝スー代数上でのすべての局所および2局所リー導分は、実際にリー導分であるか？
• RQ4 因子でない有限フォンノイマン代数上で、2局所リー導分がリー導分でないことがあるか？
• RQ5 リー導分の標準的分解における中心部 $\tau$ が2局所リー導分から導出された場合、その線形性を保証する条件は何か？

主な発見

• 各ジョルダン導分 $ varphi: \mathcal{A} \to \mathcal{M}$ が内導分であるという条件下で、$M_n(\mathcal{A})$（$n > 2$）上のすべての2局所導分は導分である。
• 忠実なトレース可能な表現をもつC*-代数上のすべての2局所導分は導分である。
• 因子型フォンノイマン代数上のすべての2局所リー導分はリー導分である。
• UHF C*-代数上のすべての2局所リー導分はリー導分である。
• ジアン＝スー代数上のすべての2局所リー導分はリー導分である。
• 因子でない有限フォンノイマン代数上に、リー導分でない2局所リー導分が存在する。これは因子条件の必要性を示している。