[論文レビュー] Characterizations of symmetrically partial Boolean functions with exact quantum query complexity

Daowen Qiu, Shenggen Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正確な量子クエリ複雑度を持つ対称的部分ブール関数を完全に特徴づけ、プロミス問題 $DJ_n^k$ に対して最適な $(k+1)$-クエリ量子アルゴリズムを提示する。正確な量子1クエリ複雑度が発生するのは、関数が Deutsch-Jozsa アルゴリズムによって計算可能である場合に限り、かつその場合に限ることを証明し、$n$ が奇数のとき、ハミング重み $ n/2,  n/2 から  0,n に分類するための最適な2クエリアルゴリズムを確立する。

ABSTRACT

We give and prove an optimal exact quantum query algorithm with complexity $k+1$ for computing the promise problem (i.e., symmetric and partial Boolean function) $DJ_n^k$ defined as: $DJ_n^k(x)=1$ for $|x|=n/2$, $DJ_n^k(x)=0$ for $|x|$ in the set $\{0, 1,\ldots, k, n-k, n-k+1,\ldots,n\}$, and it is undefined for the rest cases, where $n$ is even, $|x|$ is the Hamming weight of $x$. The case of $k=0$ is the well-known Deutsch-Jozsa problem. We outline all symmetric (and partial) Boolean functions with degrees 1 and 2, and prove their exact quantum query complexity. Then we prove that any symmetrical (and partial) Boolean function $f$ has exact quantum 1-query complexity if and only if $f$ can be computed by the Deutsch-Jozsa algorithm. We also discover the optimal exact quantum 2-query complexity for distinguishing between inputs of Hamming weight $\{ \lfloor n/2 floor, \lceil n/2 ceil \}$ and Hamming weight in the set $\{ 0, n\}$ for all odd $n$. In addition, a method is provided to determine the degree of any symmetrical (and partial) Boolean function.

研究の動機と目的

• 対称的部分ブール関数の正確な量子クエリ複雑度に基づいて、完全に特徴づけること。
• Deutsch-Jozsa問題をより広いクラスのプロミス問題 $DJ_n^k$ に一般化し、それらに対する最適な量子アルゴリズムを提供すること。
• 次数1および2の対称的部分ブール関数の正確な量子クエリ複雑度を特定すること。
• Deutsch-Jozsaフレームワークを用いて、正確な1クエリ量子計算可能性の必要十分条件を確立すること。
• 任意の対称的部分ブール関数の次数を決定する一般手法を開発し、複雑度分類を可能にすること。

提案手法

• ハミング重み $n/2$ の入力（出力1）と、$\{0,1,\dots,k,n-k,n-k+1,\dots,n\}$ 内のハミング重み（出力0）を持つ入力に対して定義された、プロミス問題 $DJ_n^k$ に対して、複雑度 $k+1$ の新しい正確な量子クエリアルゴリズムを提案する。その他の入力は未定義である。
• Deutsch-Jozsaアルゴリズムを基盤とするツールとして用い、任意の対称的部分ブール関数が正確な1クエリ複雑度を持つならば、それは必ずDeutsch-Jozsa問題に同型であることを証明する。
• パディング法を用いて、特定のケース（例：$n=4m$）からの結果を一般の $n$ に拡張し、クエリ複雑度を保存するとともに、2クエリアルゴリズムの一般化を可能にする。
• スペクトル的性質とクエリ複雑度の挙動を分析することにより、対称的部分ブール関数の次数を決定する手法を導入する。
• Groverのアルゴリズムを複数クエリ量子アルゴリズムのサブルーチンとして用い、特定のハミング重みを検出する。これは2クエリおよび4クエリ構成の核となる。
• 同型性と構造的解析を用いて、特定の関数（例：$\text{DW}_{n}^{k,l}$）が2クエリ未満で計算できないことを証明し、次数解析を用いて下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの対称的部分ブール関数に対して、1クエリの正確な量子アルゴリズムが存在するか？
• RQ2 一般化されたプロミス問題 $DJ_n^k$ の正確な量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 任意の対称的部分ブール関数の次数を決定する一般手法を開発できるか？
• RQ4 $n$ が奇数のとき、ハミング重み $ n/2,  n/2 と  0,n を区別するための最適な正確な量子クエリ複雑度は何か？
• RQ5 パディング法を用いて、特定のパrameter範囲から一般パrameter範囲への2クエリアルゴリズムをどのように拡張できるか？

主な発見

• プロミス問題 $DJ_n^k$ に対して、複雑度 $k+1$ の最適な正確な量子クエリアルゴリズムが構築された。これはDeutsch-Jozsa問題の一般化である。
• 対称的部分ブール関数が正確な量子1クエリ複雑度を持つのは、それがDeutsch-Jozsa問題に同型である場合に限り、かつその場合に限ることを証明した。
• 奇数の $n$ に対して、ハミング重み $ n/2,  n/2 と  0,n を区別するための最適な正確な量子2クエリ複雑度が確立され、$Q_E(f^{(4)}_n) = 2$ である。
• $\text{DW}_{4m}^{m,3m}$ は正確な量子クエリ複雑度 $Q_E = 2$ を有し、この結果は $n,k,l$ に関する特定の条件下で $Q_E(\text{DW}_n^{k,l}) = 2$ に一般化された。
• 任意の対称的部分ブール関数の次数を決定する一般手法が提示され、その正確な量子クエリ複雑度の分類が可能になった。
• $n/4 \leq k < n$ のとき $Q_E(f^{(2)}_{n,k}) \leq 4$ であり、$n$ が奇数のとき $Q_E(f^{(4)}_n) \leq 5$ であることが示された。次数および同型性解析を用いて、これらの境界がタイトであることが確立された。