[論文レビュー] Generalizations of the distributed Deutsch-Jozsa promise problem

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 43被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、分散型ドイチュ＝ジョーズァの保証問題を、参加者が自身の文字列が同一（ハミング距離0）か、少なくともk個の位置で異なるかを判別する場合に一般化する。ここでkは任意の固定された偶数で、n/2 ≤ k < (1−λ)n を満たす。Exactな量子通信複雑度がO(log nのまま保たれ、決定的複雑度がΩ(n)であることを証明し、指数的ギャップを確立する。結果は、集合論的素因数分解問題の保証版にも拡張され、同様の指数的量子・古典的ギャップを示す。

ABSTRACT

In the {\em distributed Deutsch-Jozsa promise problem}, two parties are to determine whether their respective strings $x,y\in\{0,1\}^n$ are at the {\em Hamming distance} $H(x,y)=0$ or $H(x,y)=\frac{n}{2}$. Buhrman et al. (STOC' 98) proved that the exact {\em quantum communication complexity} of this problem is ${\bf O}(\log {n})$ while the {\em deterministic communication complexity} is ${\bf Ω}(n)$. This was the first impressive (exponential) gap between quantum and classical communication complexity. In this paper, we generalize the above distributed Deutsch-Jozsa promise problem to determine, for any fixed $\frac{n}{2}\leq k\leq n$, whether $H(x,y)=0$ or $H(x,y)= k$, and show that an exponential gap between exact quantum and deterministic communication complexity still holds if $k$ is an even such that $\frac{1}{2}n\leq k

研究の動機と目的

• ハミング距離が0または固定されたk ≥ n/2である場合に一般化された分散型ドイチュ＝ジョーズァの保証問題を提示すること。
• この一般化された問題のExactな量子および決定的通信複雑度を分析すること。
• kがより大きい場合でも、量子と古典的通信複雑度の指数的ギャップが維持されるかを調査すること。
• 集合論的素因数分解問題の保証版を検討し、同様の指数的ギャップを確立すること。
• 通信複雑度の結果を応用して、有限オートマトンの状態複雑度の下界を導出すること。

提案手法

• 元のドイチュ＝ジョーズァの保証問題を、ハミング距離が0または正確にkである文字列を区別するように一般化する。ここでkは固定された偶数でk ≥ n/2である。
• 振幅増幅および位相キックバックに基づく量子プロトコルを用いて、Exactな量子通信複雑度がO(log n)に達することを実現する。
• k < (1−λ)n かつ 0 < λ < 1/2 を満たす条件下で、決定的通信複雑度がΩ(n)のまま保たれることを証明する。
• 入力が互いに素であるか、少なくともλn個の重複する1ビットを持つという保証版の集合論的素因数分解問題を分析する。ここでλ ≤ 1/4である。
• 保証付き集合論的素因数分解問題DISJ_λに対して、量子および確率的通信プロトコルを構築し、通信コストがそれぞれO(log n)およびO(log n)であることを示す。
• 通信複雑度の下界を応用して、決定的有限オートマトン（DFA）の状態複雑度に対する指数的下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミング距離の保証がk = n/2からk ≥ n/2に一般化された場合、分散型ドイチュ＝ジョーズァ問題における指数的量子優位性が維持されるか？
• RQ2 kが偶数でn/2 ≤ k < (1−λ)nを満たす固定されたλ > 0に対して、一般化されたEQ_k問題のExactな量子通信複雑度がO(log nのまま保たれるか？
• RQ3 量子通信複雑度が決定的通信複雑度よりも指数的に小さい保証付き集合論的素因数分解問題が存在するか？
• RQ4 通信複雑度の結果を用いて、有限オートマトンの状態複雑度に対するタイトな下界を導出できるか？
• RQ5 ハミング重みが0またはkより大きい場合に一般化された保証問題におけるExactな量子クエリ複雑度は何か？ここでk ≥ n/2である。

主な発見

• 任意の固定された偶数kについて、n/2 ≤ k < (1−λ)n かつ 0 < λ < 1/2 を満たす場合、EQ_k問題のExactな量子通信複雑度はO(log n)である。
• EQ_k問題の決定的通信複雑度はΩ(n)であり、量子と古典的通信複雑度の間の指数的ギャップが確立される。
• DJ_k問題（ハミング重み0とkより大きい重みを区別する）のExactな量子クエリ複雑度は1であるが、決定的クエリ複雑度はn−k+1である。
• λ ≤ 1/4の保証付き集合論的素因数分解問題DISJ_λについて、量子通信複雑度は最大で(log 3)/(3λ) · (3 + 2 log n)であり、固定されたλに対してO(log n)である。
• DISJ_λの確率的通信複雑度は最大で(log 3)/λ · log nであり、nに対して非線形である。
• 保証付き問題A_D(n)を解く決定的有限オートマトンは、少なくとも2^Ω(n)の状態を必要とし、これはDISJ_1/4の決定的通信複雑度の下界から導出される。