[論文レビュー] Characterizations of unimodular finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、圏の中心からその圏への忘却関手を分析することにより、ユニモジュラーな有限テンソル圏の複数の同値な特徴づけを確立する。ユニモジュラー性は、忘却関手がフロベニウス関手であることと同値であり、左および右随伴が双対性を保存する、あるいは単位対象を自己双対対象に写すことと同値であることが証明され、ハンドル体リンクの不変量が一般化される。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, let $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ denote its center, and let $L$ and $R$ be a left and a right adjoint functor of the forgetful functor $U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) o \mathcal{C}$. We show that the following assertions are equivalent: (i) $\mathcal{C}$ is unimodular, (ii) $U$ is a Frobenius functor, (iii) $L$ preserves duality, (iv) $L(1)$ is self-dual, (v) $R$ preserves duality, and (vi) $R(1)$ is self-dual, where $1 \in \mathcal{C}$ is the unit object. Some other equivalent assertions are also given. As an application, we generalize Ishii and Masuoka's construction of an invariant of handlebody-links to unimodular finite tensor categories.

研究の動機と目的

• 有限テンソル圏がユニモジュラーであるための複数の同値な条件を特定・統合すること。
• 圏の中心からその圏への忘却関手がユニモジュラー性を決定する役割を明確にすること。
• 石井と増岡によるハンドル体リンクの不変量構成を、ユニモジュラーな有限テンソル圏のより広い設定へと拡張すること。
• 忘却関手の左および右随伴の性質を通じてユニモジュラー性を特徴づけること。

提案手法

• 忘却関手 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 及びその左随伴 $ L $ と右随伴 $ R $ を分析すること。
• ユニモジュラー性と $ U $ がフロベニウス関手であることの同値性を確立すること。
• $ L $ が双対性を保存するための必要十分条件が $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることであることを証明すること。
• $ L(1) $ が自己双対であることと $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることの同値性を示すこと、ここで $ 1 $ は $ \mathcal{C} $ の単位対象である。
• $ R $ が双対性を保存するための必要十分条件が $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることであることを証明すること。
• これらの同値性を用いて、モジュラー圏からユニモジュラーな有限テンソル圏へのハンドル体リンク不変量の一般化を実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限テンソル圏 $ \mathcal{C} $ に対して、ユニモジュラー性と同値となる条件は何か？
• RQ2 ユニモジュラーな圏の文脈において、忘却関手 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ はフロベニウス関手とどのように関係するか？
• RQ3 忘却関手 $ U $ の左随伴 $ L $ および右随伴 $ R $ は、$ \mathcal{C} $ のユニモジュラー性をどのように反映するか？
• RQ4 石井と増岡が構成したハンドル体リンクの不変量は、モジュラー圏を超えて拡張可能か？
• RQ5 $ L(1) $ および $ R(1) $ が自己双対であることに、ユニモジュラー性に関してどのような意味があるか？

主な発見

• $ \mathcal{C} $ のユニモジュラー性は、忘却関手 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ がフロベニウス関手であることと同値である。
• 左随伴 $ L $ が双対性を保存するための必要十分条件が $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることである。
• $ L(1) $ が自己双対であることと $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることの同値性が成り立つ。ここで $ 1 $ は $ \mathcal{C} $ の単位対象である。
• 右随伴 $ R $ が双対性を保存するための必要十分条件が $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることである。
• $ R(1) $ が自己双対であることと $ \mathcal{C} $ がユニモジュラーであることの同値性が成り立つ。
• 石井と増岡によるハンドル体リンク不変量の構成が、ユニモジュラーな有限テンソル圏へと一般化された。