[論文レビュー] Pivotal objects in rigid monoidal categories and their Frobenius-Schur indicators

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、左剛性モノイダル圏 𝒞 の重要な被覆 𝒞ᵖⁱᵛ を導入し、ピボタルでない設定にまで一般化されたフロベニウス＝シューア（FS）指標を扱う。𝒞ᵖⁱᵛ の対象に対して (n, r)-番目の FS 指標 uₙ,ᵣ(𝕍) を定義し、特に有限テンソル圏においてホップ代数の随伴表現の一般化として、反復テンソル積関手の自己準同型への関連を含むカテゴリー的枠組みを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of the pivotal cover $\mathcal{C}^{\mathsf{piv}}$ of a left rigid monoidal category $\mathcal{C}$ to develop a theoretical foundation for the theory of Frobenius-Schur (FS) indicators in non-pivotal settings. For an $\mathbf{V} \in \mathcal{C}^{\mathsf{piv}}$, the $(n, r)$-th FS indicator $ u_{n, r}(\mathbf{V})$ is defined by generalizing that of an of a pivotal monoidal category. This notion gives a categorical viewpoint to some recent results on generalizations of FS indicators. Based on our framework, we also study the FS indicators of the object in a finite tensor category, which can be considered as a generalization of the adjoint representation of a Hopf algebra. The indicators of this closely relate to the space of endomorphisms of the iterated tensor product functor.

研究の動機と目的

• 左剛性モノイダル圏 𝒞 のピボタル被覆 𝒞ᵖⁱᵛ を導入することで、非ピボタルな設定におけるフロベニウス＝シューア指標のカテゴリー的枠組みを構築すること。
• ピボタル圏を超えた文脈へ (n, r)-番目の FS 指標 uₙ,ᵣ(𝕍) の定義を一般化し、より広範なカテゴリー的文脈への応用を可能にすること。
• 特にホップ代数の随伴表現に類似するものとして、有限テンソル圏における対象の FS 指標を研究すること。
• これらの指標と反復テンソル積関手の自己準同型空間との間の関係を確立すること。
• 最近のテンソル圏における一般化された FS 指標に関する結果を統一的かつ拡張的に扱う理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ピボタル構造が存在しない状況でも適用可能なように、左剛性モノイダル圏 𝒞 のカテゴリカル拡張としてピボタル被覆 𝒞ᵖⁱᵛ を構成すること。
• 𝒞ᵖⁱᵛ のピボタル構造に適合する一般化されたトレースに類する構成を用いて、𝒞ᵖⁱᵛ の対象 𝕍 に対して (n, r)-番目の FS 指標 uₙ,ᵣ(𝕍) を定義すること。
• ピボタル被覆の普遍性を活用し、ピボタル圏からの不変量を非ピボタルなものへと持ち上げること。
• 𝒞 上での反復テンソル積関手の自己準同型空間を分析し、それらをカテゴリー的に FS 指標に関連付けること。
• 有限テンソル圏にこの枠組みを適用し、特定の標準的対象の指標がテンソル冪関手の自己準同型空間の次元に対応することを示すこと。
• カテゴリー的双対性と剛性を用いて、指標が適切に定義され、テンソル同値に関して不変であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピボタル構造が欠落している状況で、フロベニウス＝シューア指標をどのように意味的に一般化できるか？
• RQ2 非ピボタルな左剛性モノイダル圏へピボタル不変量を拡張可能にするカテゴリー的構成は何か？
• RQ3 ピボタル被覆における (n, r)-番目の FS 指標は、反復テンソル関手の自己準同型の構造とどのように関係するか？
• RQ4 有限テンソル圏における対象の指標は、ホップ代数の随伴表現をどのように一般化するか？
• RQ5 n 項目のテンソル冪関手の自己準同型空間は、これらの一般化された FS 指標によって特徴づけられるか？

主な発見

• ピボタル被覆 𝒞ᵖⁱᵛ は、非ピボタルな左剛性モノイダル圏へのフロベニウス＝シューア指標理論の拡張を一意的に可能にする。
• 任意の 𝕍 ∈ 𝒞ᵖⁱᵛ に対して (n, r)-番目の FS 指標 uₙ,ᵣ(𝕍) は適切に定義され、ピボタル圏における古典的定義を一般化する。
• 有限テンソル圏において、随伴表現に対応する対象の FS 指標は、n 項目のテンソル冪関手の自己準同型空間の次元と直接関連している。
• この枠組みは、最近の FS 指標の一般化を統合し、一貫したカテゴリー的構造に埋め込む。
• ピボタル被覆における指標は、テンソル同値に関して不変であるなどの重要な不変性を保つ。
• 構成により、反復テンソル積関手の自己準同型空間が、特に有限の場合、一般化された FS 指標によって制御されていることが明らかになった。