[論文レビュー] Characterizing some rings of finite order

Jutirekha Dutta, Dhiren Kumar Basnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限環の中心化子の個数によってその性質を特徴づけ、さまざまなクラスについて |Cent(R)| を計算し、n ≤ 5 に対する n 個の中心化子を持つ環を完全に分類する。有限環が5個の異なる中心化子を持つことと、その中心による商環が ℤ₃×ℤ₃ に同型であることとは同値であり、この個数を共通度 d(R) と関連付ける。特に、素数べき環では |Cent(R)| = p + 2 のとき、d(R) = (p² + p − 1)/p³ が成り立つことが示された。

ABSTRACT

In this paper, we compute the number of distinct centralizers of some classes of finite rings. We then characterize all finite rings with $n$ distinct centralizers for any positive integer $n \leq 5$. Further we give some connections between the number of distinct centralizers of a finite ring and its commutativity degree.

研究の動機と目的

• 群論的手法を非可換環へと拡張し、有限環の中心化子の個数に基づいてその特徴づけを試みること。
• n ≤ 5 に対して、ちょうど n 個の異なる中心化子を持つ有限環を特定すること。
• 有限環の異なる中心化子個数 |Cent(R)| とその共通度 d(R) の関係を調査すること。
• 特に 4 と 5 のような小さな値をとる |Cent(R)| に対して、環 R に課される構造的条件を確立すること。
• R/Z(R) の構造を用いて、5 個の中心化子を持つ有限環を完全に分類すること。

提案手法

• 中心化子がちょうど n 個ある環を n-中心化子環と定義する。すなわち |Cent(R)| = n である。
• 中心化子構造 C(r) = {s ∈ R : rs = sr} と中心 Z(R) = ∩_{r∈R} C(r) を用いる。
• 群論的結果を応用する：R は2つの真部分環の和集合にはなりえない。非可換環では R/Z(R) は巡回でない。
• 共通度 d(R) = (1/|R|²) Σ_{r∈R} |C(r)| を用いて、中心化子個数と共通度を関連付ける。
• 加法的部分群の指数とサイズ制約を用いて |Z(R)| を抑え、R/Z(R) の可能性のある同型型を導出する。
• MacHale (1975) の共通度の上限に関する結果を応用し、|Cent(R)| = p+2 となるための必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の整数 n に対して、ちょうど n 個の異なる中心化子を持つ有限環が存在するか？
• RQ2 ちょうど4個の異なる中心化子を持つ有限環の完全な分類は何か？
• RQ3 ちょうど5個の異なる中心化子を持つ有限環の完全な分類は何か？
• RQ4 有限環の異なる中心化子個数 |Cent(R)| とその共通度 d(R) の関係は何か？
• RQ5 素数べき環において、|Cent(R)| = p+2 ならば d(R) = (p² + p − 1)/p³ が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 有限環が1-中心化子環であることと、可換であることとは同値である。すなわち |Cent(R)| = 1 ⇔ R は可換である。
• 任意の素数 p に対して、(p+2)-中心化子環が存在する。例として、ℤ_p 上の 2×2 上三角行列環が挙げられる。
• 有限環がちょうど4個の異なる中心化子を持つことと、その共通度が d(R) = 5/8 であることとは同値である。
• 有限環がちょうど5個の異なる中心化子を持つことと、R/Z(R) ≅ ℤ₃ × ℤ₃ であることとは同値である。
• 素数べき位数 p^k の非可換有限環に対して、|Cent(R)| = p+2 であることと、d(R) = (p² + p − 1)/p³ であることとは同値である。
• 逆も成り立つ：p-群環で d(R) = (p² + p − 1)/p³ ならば、|Cent(R)| = p+2 である。