[論文レビュー] Characterizing Symmetric Spaces by their Lyapunov Spectra

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 58被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた負に曲がった局所的に対称的な空間が、同相型の多様体の中で等長写像を除いて一意に決定されることを証明している。その根拠は、測地線フローの周期軌道のリャプノフスペクトルに依存する。著者は、水平測度と呼ばれる新しい不変測度を導入し、それがリャプノフスペクトルによって局所的等長写像の剛性を示すことを示した。この結果は、曲率ピンチング剛性に類似したスペクトル的特徴付けを提供し、軌道同値を介してアノソフフローへの拡張を達成した。

ABSTRACT

We prove that closed negatively curved locally symmetric spaces are characterized up to isometry among all homotopy equivalent negatively curved manifolds by the Lyapunov spectra of the periodic orbits of their geodesic flows. This is done by constructing a new invariant measure for the geodesic flow that we refer to as the horizontal measure. We show that the Lyapunov spectrum of the horizontal measure alone suffices to locally characterize these locally symmetric spaces up to isometry. We associate to the horizontal measure a new invariant, the horizontal dimension. We tie this invariant to extensions of curvature pinching rigidity theorems for complex hyperbolic manifolds to pinching rigidity theorems for the Lyapunov spectrum. Our methods extend to give a rigidity theorem for smooth Anosov flows $f^{t}$ orbit equivalent to the geodesic flow $g^{t}_{X}$ of a closed negatively curved locally symmetric space $X$: $f^{t}$ is smoothly orbit equivalent to $g^{t}_{X}$ if and only if its Lyapunov spectra on all periodic orbits are a multiple of the corresponding Lyapunov spectra for $g^{t}_{X}$.

研究の動機と目的

• 閉じた負に曲がった局所的に対称的な空間が等長写像を除いて一意に特徴付けられるスペクトル的特徴付けを確立すること。
• 測地線フローに対して新たな不変量として水平測度を導入し、そのリャプノフスペクトルが本質的な幾何的データを捉えられることを分析すること。
• 曲率ピンチング剛性定理を、複素ハイパボリック空間および他の対称空間におけるリャプノフスペクトルの設定に拡張すること。
• 測地線フローと同値な滑らかなアノソフフローに対して、リャプノフスペクトルが元のものとスカラー倍であることを示す剛性定理を証明すること。

提案手法

• 測地線フローに対して不変であり、対称空間の幾何を捉える水平測度と呼ばれる新たな不変測度を構成する。
• 水平測度のリャプノフスペクトルから導かれる不変量として水平次元を定義する。
• 乗法的エルゴード定理を用いて、測地線フローの周期軌道に対してリャプノフ指数を関連づけ、これが等長写像のもとで不変であることを示す。
• 同期化と共に滑らかな共役写像の性質を用いて、同相型の多様体上での測地線フロー間のフロー関連の共役性を確立する。
• 共役によって誘導される境界写像がCC距離に関して等角的であることを証明し、これが普遍被覆の等長写像に由来することを示す。
• 測地線に沿った直線的ホモトピーを用いて、基底多様体上の誘導写像が等長写像にホモトープであることを示し、剛性により等長写像であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた負に曲がった局所的に対称的な空間は、測地線フローの周期軌道のリャプノフスペクトルによって、等長写像を除いて一意に決定可能か？
• RQ2 水平測度のリャプノフスペクトルのみで、そのような空間が局所的に等長写像を除いて特徴付けられるか？
• RQ3 アノソフフローのリャプノフスペクトルは、その軌道同値類をどの程度まで決定するか？
• RQ4 曲率ピンチング剛性定理は、位相的エントロピーまたは体積ではなくリャプノフスペクトルの設定に一般化可能か？

主な発見

• 水平測度のリャプノフスペクトルは、閉じた負に曲がった局所的に対称的な空間の等長写像型を一意に決定する。
• 任意の閉じた負に曲がった局所的に対称的な空間に対して、測地線フローのリャプノフスペクトルは不変測度に依存せず、普遍被覆の幾何にのみ依存する。
• 同相型の閉じた負に曲がった多様体がすべての周期軌道で同じリャプノフスペクトルを持つならば、それらは等長写像である。
• 滑らかなアノソフフロー $ f^t $ が、局所的に対称的な空間 $ X $ の測地線フロー $ g^t_X $ と滑らかに軌道同値であるための必要十分条件は、$ f^t $ のリャプノフスペクトルが $ g^t_X $ のものとスカラー倍であることである。
• 測地線フロー間の共役は、境界写像を誘導するが、これはCC距離に関して等角的であり、したがって普遍被覆への等長写像に引き上げられる。
• 得られた基底多様体間の等長写像は、測地線に沿った直線的ホモトピーを介して元の共役にホモトープであり、等長写像であることが確認される。