[論文レビュー] Chebyshev Interpolation for Parametric Option Pricing

Maximilian Gaß, Kathrin Glau+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、アフィンモデルにおけるパラメトリックオプションプライシングのための高精度・低計算量な手法として、パrameter空間におけるチェビシェフ補間を提案する。テンソル化されたチェビシェフ多項式を活用することで、(準)指数的収束率を達成し、明示的な誤差境界を提供する。これにより、ヨーロピアンオプションおよびバスケットオプションの実行時間は顕著に短縮され、多様なパrameter設定下でも精度を維持する。

ABSTRACT

Recurrent tasks such as pricing, calibration and risk assessment need to be executed accurately and in real-time. Simultaneously we observe an increase in model sophistication on the one hand and growing demands on the quality of risk management on the other. To address the resulting computational challenges, it is natural to exploit the recurrent nature of these tasks. We concentrate on Parametric Option Pricing (POP) and show that polynomial interpolation in the parameter space promises to reduce run-times while maintaining accuracy. The attractive properties of Chebyshev interpolation and its tensorized extension enable us to identify criteria for (sub)exponential convergence and explicit error bounds. We show that these results apply to a variety of European (basket) options and affine asset models. Numerical experiments confirm our findings. Exploring the potential of the method further, we empirically investigate the efficiency of the Chebyshev method for multivariate and path-dependent options.

研究の動機と目的

• モデルの複雑化とリスク管理の要求が高まる中、リアルタイム金融計算における計算負荷の増大に対処すること。
• アフィンモデルおよび関連モデルにおける繰り返し発生するパラメトリックオプションプライシングタスクのための計算複雑度低減技術を開発すること。
• チェビシェフノードを用いたパrameter空間における多項式補間の理論的収束速度と誤差境界を確立すること。
• 数値実験を通じて、多変数およびパス依存オプションに対する手法の効率性と正確性を示すこと。

提案手法

• チェビシェフ多項式の安定性と収束特性を活用し、モデルパrameterの関数としてオプション価格を近似するため、テンソル化されたチェビシェフ補間を適用する。
• 各パrameter次元においてチェビシェフノードにおける補間を用い、オプション価格のパrametric依存性を捉える多項式サロゲートを構築する。
• パrameterドメインの複素拡張と、チェビシェフ重みに関する$L^2$ノルムを用いて明示的な誤差境界を導出する。これにより、解析的条件下で準指数的収束が得られる。
• 各成分において、補間度未満の多項式関数については正確な補間が達成され、高次多項式の誤差は各次元で2の上限に抑えられる。
• 補間のテンソル構造を活用して、一変数の結果を誤差成長を制御しながら多変数パrameter空間へと拡張する。
• アフィンジャンプ・ディフュージョンおよびLévy過程下でのヨーロピアンオプションおよびバスケットオプションに対して、標準的なモンテカルロ法およびFFTベース手法と比較して、数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter空間におけるチェビシェフ補間は、アフィンモデルにおけるパラメトリックオプションプライシングで(準)指数的収束を達成できるか？
• RQ2 オプション価格をパrameterの関数として補間する際、明示的な誤差境界をどのように導出できるか？
• RQ3 多変数およびパス依存オプションにおいて、本手法は標準的プライシング手法と比較して実際の性能をどのように発揮するか？
• RQ4 チェビシェフ補間のテンソル構造は、高次元パrameter空間において、正確性と効率性をどの程度維持できるか？

主な発見

• 解析的関数として複素パrameterドメイン内で正則なオプションプライシング関数に対して、チェビシェフ補間は(準)指数的収束を達成する。収束速度はドメインの解析的半径に依存する。
• オプション価格関数の本質的ノルムとチェビシェフ係数の減衰率に基づき、明示的な誤差境界を導出する。各次元で$ O(\varrho_i^{-2N_i}) $の減衰が得られる。
• 各パrameterにおいて次数が$ N_i $以下の多項式関数については、補間が正確に実行され、誤差なしに実現される。
• 高次多項式関数の補間誤差は、各次元で一様に2の上限に抑えられ、関数が補間度で完全に表現されない場合でも安定性が保証される。
• 数値実験により、本手法の効率性と正確性が確認された。繰り返しプライシングタスクにおいて、モンテカルロ法およびFFTベース手法と比較して顕著な実行時間短縮が達成された。
• 本手法は多変数設定において強くスケーラブルで、誤差成長が次元ごとの減衰要因の積によって制御されることを示した。