[論文レビュー] Cheeger-Colding-Tian theory for conic Kahler-Einstein metrics

Gang Tian, Feng Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則交差除法を持つファノ多様体上の錐型ケーラー＝アインシュタイン計量に対して、チーバー＝コールディング＝ティアンの接錐および特異的層の理論を拡張する。コールディングのGromov-Hausdorff極限の議論を錐特異性に適応することで、接錐の存在と特異点の層構造を確立し、特異点集合のハウスドルフ次元が最大で $2n-2$ であることを示す。また、除法成分に沿った極限における錐角が、元の錐角の極限によって決定されることを示す。

ABSTRACT

In this paper is to extend the Cheeger-Colding Theory to the class of conic Kahler-Einstein metrics. This extension provides a technical tool for [LTW] in which we prove a version of the Yau-Tian-Donaldson conjecture for Fano varieties with certain singularity.

研究の動機と目的

• 正則交差除法を持つファノ多様体上の錐型ケーラー＝アインシュタイン計量の文脈において、チーバー＝コールディング＝ティアンの接錐および特異的層の理論を拡張すること。
• リッチ曲率が下から有界な場合の、このような計量のGromov-Hausdorff極限空間の任意の点における接錐の存在を確立すること、特に錐特異性が存在する場合でも同様に成り立つこと。
• 極限空間における特異点集合が層構造を持つこと、かつその次元が最大で $2n-2$ であることの証明。これは、リッチ曲率が有界なリーマン多様体に対する古典的結果の一般化である。
• 接錐における錐角が、除法成分に沿った元の錐角の極限によってどのように定義されるかを特定すること。
• 特異点が制御された場合の、特に特異点が制御された状況におけるYau-Tian-Donaldson予想の技術的基盤を提供すること。

提案手法

• リッチ曲率が下から有界なリーマン多様体のGromov-Hausdorff極限のアプローチを、錐型ケーラー＝アインシュタイン設定に適応する。
• 特異点集合 $\mathcal{S}$ が $n$ 次元ハウスドルフ測度 0 であるようなリーマン多様体のクラスを用い、正則部分集合 $\mathcal{R}$ では計量が滑らかであることを仮定する。
• 近似過程における特異点集合を扱うために、勾配の $L^2$ ノルムが制御された切り捨て関数 $\gamma_\epsilon$ を用いる。
• アニュラ領域でボッハナーの公式と調和近似技術を用いて、距離関数に類する関数の勾配を制御する。
• 錐型ケーラー＝アインシュタイン計量からの体積比較および曲率推定を用いて、極限幾何を制御する。
• ストークスの定理と円周バンドル上のリーマン面へのホロノミーの議論を用い、極限におけるオイラー特性と錐角の関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から有界な錐型ケーラー＝アインシュタイン計量のGromov-Hausdorff極限空間の任意の点に接錐が存在するか？
• RQ2 極限空間における特異点集合の層構造は何か？ また、特異的層の最大のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 接錐における錐角は、元の錐型ケーラー＝アインシュタイン計量の錐角とどのように関係しているか？
• RQ4 チーバー＝コールディング＝ティアン理論における接錐および特異的層の理論を、錐型ケーラー＝アインシュタイン設定に拡張できるか？
• RQ5 有界なリッチ曲率と体積、錐特異性を伴う極限空間の位相的および幾何的構造は何か？

主な発見

• 任意の $\mathcal{M}(n,k,\delta,V)$ に属する錐型ケーラー＝アインシュタイン計量の列に対して、Gromov-Hausdorff極限空間 $X$ は任意の点に接錐を持ち、それらは計量的錐である。
• 極限空間における特異点集合 $\mathcal{S}$ は $\mathcal{S} = \mathcal{S}_{2n-2}$ を満たし、各層 $\mathcal{S}_k$ はハウスドルフ次元が $k$ 以下である。
• 接錐 $T_xX \cong \mathbb{C}_{\bar{\beta}} \times \mathbb{R}^{2n-2}$ の錐角 $1 - \bar{\beta}$ は $1 - \bar{\beta} = \sum m_i (1 - \beta_\infty^i)$ で与えられ、ここで $\beta_\infty^i$ は元の錐角の極限である。
• このような計量の極限空間 $X$ はクラス $\mathcal{M}(V, \pi\sqrt{(2n-1)/\delta}, 2n)$ に属し、一様な幾何的制御が保証される。
• 接錐の存在は、勾配エネルギーが制御された切り捨て関数を用いたアニュラ領域における調和近似の議論によって確立される。
• 錐角の公式は、リーマン面のオイラー特性と特異ファイバー上の線束の曲率に関連するトポロジー的議論から導出される。