[論文レビュー] Chern characters via connections up to homotopy

Marius Crainic|ArXiv.org|Sep 26, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ベクトル bundle の超複体におけるホモトピー的接続を用いたチャーン特徴類の計算の一般化された枠組みを導入し、標準的な接続を超えて古典的チャーン特徴類理論を拡張する。主な貢献は、このような接続の曲率データを用いたホモトピー的不変なチャーン特徴類形式の公式であり、Lie代数ダルのコホモロジー写像において差分バンドル $\mathfrak{g} - TM$ のチャーン特徴類の消滅を示す応用により、ボットの消滅定理を一般化する。

ABSTRACT

The aim of this note is to point out that Chern characters can be computed using curvatures o ``super-connections up to homotopy'. We also present an application to the vanishing theorem for Lie algebroids which is at the origin of new secondary classes of algebroids (Fernandes), hence, in particular, of Poisson manifolds.

研究の動機と目的

• 標準的接続を超えてチャーン特徴類の古典的計算を一般化するため、ホモトピー的接続を導入すること。
• Lie代数ダルの随伴表現がホモトピー的表現にしかならないという課題に対処し、一般化された特徴類理論を必要とすること。
• ホモトピー的接続の曲率データを用いた、チャーン特徴類の計算のホモトピー的不変な方法を確立すること。
• この枠組みを用いて、Lie代数ダルコホモロジーにおける差分バンドル $\mathfrak{g} - TM$ のチャーン特徴類の消滅定理を証明すること。
• Quillenの超接続アプローチを拡張し、接続の公理を弱めて高次のホモトピー補正を許容すること。

提案手法

• ホモトピー的接続を、線形写像 $\nabla: \mathcal{X}(M) \otimes \Gamma E \to \Gamma E$ として定義し、ライブニッツ則および微分 $\partial$ との整合性を満たすが、$C^\infty(M)$-線形性をホモトピーの意味で緩和する。
• このような接続に関連する曲率作用素 $k_\nabla^p$ を定義し、接続とその形式への作用のスーパー可換子を用いて定義する。
• チャーン特徴類形式 $cs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$ を、曲率のべきのスーパー跡の差として構成し、それが特徴類を表す閉形式であることを保証する。
• スーパー跡の曲率のべきがホモトピー関係 $\operatorname{Tr}_s(k_\nabla^p) - \operatorname{Tr}_s(k_{\widetilde{\nabla}}^p) = dcs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$ を満たすことを証明し、チャーン特徴類のホモトピー不変性を確立する。
• Lie代数ダルにこの枠組みを適用するため、複体 $\mathfrak{g} \to TM$ 上に自然な $\mathfrak{g}$-接続（ホモトピー的）を構成し、それが平坦でかつ必要なコホモロジー的消滅を誘導することを示す。
• チャーン特徴類の $\mathfrak{g}$-版を用いて、$H^*(\mathfrak{g})$ 内で $\rho_* Ch(\mathfrak{g} - TM) = 0$ を示し、消滅定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン特徴類は、標準的接続ではなくホモトピー的接続によっても計算可能か？
• RQ2 ホモトピー的接続の曲率は、de Rham コホモロジーにおけるチャーン特徴類とどのように関係するか？
• RQ3 一貫した特徴類を定義するために、高次のホモトピー補正 $H^k(f_1,\dots,f_k,X)$ が果たす役割は何か？
• RQ4 Lie代数ダルコホモロジー写像 $\rho_*$ において、差分バンドル $\mathfrak{g} - TM$ のチャーン特徴類は消えるか？
• RQ5 超接続フレームワークは、ホモトピー補正を含む形で拡張可能であり、チャーン特徴類のホモトピー不変性を保つことができるか？

主な発見

• 超複体 $E = (E^0 \xrightarrow{\partial} E^1)$ のチャーン特徴類は、ホモトピー的接続の曲率のべきのスーパー跡を用いて計算可能である。
• スーパー跡形式の差 $\operatorname{Tr}_s(k_\nabla^p) - \operatorname{Tr}_s(k_{\widetilde{\nabla}}^p)$ は完全形式であり、$dcs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$ に等しいことから、チャーン特徴類のホモトピー不変性が証明される。
• 複体 $\mathfrak{g} \to TM$ 上に自然な $\mathfrak{g}$-接続（ホモトピー的）が存在し、高次のホモトピー補正 $H(f,X)$ が消え、曲率が平坦である。
• Lie代数ダルコホモロジーにおいて、差分バンドル $\mathfrak{g} - TM$ のチャーン特徴類は写像 $\rho_*: H^*(M) \to H^*(\mathfrak{g})$ で消えることから、Lie代数ダルの消滅定理が証明される。
• Quillenの超接続理論を一般化する枠組みは、非厳密な $C^\infty(M)$-線形性を許容し、高次のホモトピー補正 $H^k$ が高階の整合性条件を満たすことを示す。
• 複体が部分空間 $A \subset M$ 上で収縮可能である場合、チャーン特徴類形式の制限により相対コホモロジー類が得られる。