[論文レビュー] Connections up to homotopy and characteristic classes

Marius Crainic|ArXiv.org|Oct 9, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Z2-符号付きベクトルバンドル上のホモトピーに沿った接続を用いた特徴的類の一般化されたチェーン＝ヴェイル構成を導入し、古典的チェーン指標理論を非平坦および非線形な設定に拡張する。内在的特徴的類が、ホモトピーに沿った随伴表現のチェーン指標として生じることを示し、それらの起源に関する予想を解消し、古典的平坦ケースを超える新しい不変量をもたらす。

ABSTRACT

In this note we clarify the relevance of ``connections up to homotopy'' to the theory of characteristic classes. We have already remarked \cite{Crai} that such connections up to homotopy can be used to compute the classical Chern characters. Here we present a slightly different argument for this, and then proceed with the discussion of the flat (secondary) characteristic classes. As an application, we clarify the relation between the two different approaches to characteristic classes of algebroids (and of Poisson manifolds in particular): we explain that the intrinsic characteristic classes are precisely the secondary classes of the adjoint representation.

研究の動機と目的

• ホモトピーに沿った接続が、リー代数小屋およびポアソン多様体の特徴的類を計算する役割を明確にすること。
• 平坦でない、Z2-符号付きベクトルバンドルに非線形接続を用いた古典的チェーン指標構成を非平坦・非線形設定に拡張すること。
• フェルナンデスのポアソン多様体の内在的特徴的類が、ホモトピーに沿った随伴表現のチェーン指標であることを示すこと。
• 内在的類が随伴表現から生じることの予想を、ホモトピーに沿った接続を用いて構成することで解消すること。

提案手法

• Z2-符号付きスーパーベクトルバンドル上の非線形接続を導入し、接続形式のC∞(M)-線形性を緩和する。
• 標準的な公式とライブニッツ則を用いて、非線形接続の曲率および共変微分を定義し、デ・ラーム複体を非線形形式へ拡張する。
• 曲率の累乗のスーパートレースを用いて非線形チェーン指標を構成する：ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p) ∈ A_nl^{2p}(M)。
• 標準k単体上の接続のアフィン結合を用いたチェーン＝スミス構成を適用し、ファイバーに沿った積分を施して特徴的類を生成する。
• End(E) 上の誘導接続とバイアンチ恒等式 d_∇(k_∇) = 0 を用いて、チェーン形式の閉形式性を保証する。
• リー代数小屋の随伴表現にこの構成を適用し、その特徴的類がポアソン多様体の内在的類と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦性が欠如する状況下でも、ホモトピーに沿った表現の特徴的類を定義できるか？
• RQ2 ホモトピーに沿った接続は、ベクトルバンドルの古典的チェーン＝ヴェイル理論をどのように一般化するか？
• RQ3 ポアソン多様体の内在的特徴的類は、随伴表現のチェーン指標として実現可能か？
• RQ4 非平坦ケースにおいて、非線形接続は特徴的類の計算にどのような役割を果たすか？
• RQ5 チェーン＝スミス構成は、非線形形式および非線形接続へ拡張可能か？

主な発見

• 非線形チェーン指標 ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p) は、A_nl^{2p}(M) 内の閉形式であり、非線形および非平坦設定への古典的チェーン指標の一般化を実現する。
• チェーン＝スミス構成により定義された特徴的類は、ホモトピーに沿った接続の選択に依存しない。
• 以前は随伴表現から生じるとの予想が立てられていたポアソン多様体の内在的特徴的類が、ホモトピーに沿った随伴表現のチェーン指標として実現されることを示した。
• この構成により、平坦でないZ2-符号付きベクトルバンドルに対する新しい特徴的類が得られ、古典的平坦ベクトルバンドル理論を超える。
• 正則なリー代数小屋に対しては、u_{2p-1}^g = u_{2p-1}(K) - u_{2p-1}(ν) が成り立ち、K と ν はボット表現である。
• リー代数小屋の随伴表現は自然にホモトピーに沿った接続を備えており、一般化されたチェーン＝ヴェイル法によりその特徴的類を定義可能である。