[論文レビュー] Chern classes for representations of reductive groups

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、再帰的群 G の有理数値グレーディング表現環と、そのリー代数上の不変多項式関数の環との間に標準的同型を確立し、表現のチャーン類が 1 + Lρ の行列式に、チャーン特性が exp(Lρ) のトレースにそれぞれ対応することを示している。これにより、特徴的類の計算をコホモロジーを一切用いずに代数的に行う手法が得られる。

ABSTRACT

Let G be a complex connected reductive group. The representation ring R(G) admits a canonical filtration defined in terms of the lambda-structure. We compute the associated graded ring gr R(G) (over Q) and the Chern classes of a representation -- an easy exercise which we have been unable to find in the literature. As an application we give a simple definition of the characteristic classes of a principal bundle P --> B in gr K(B), and a simple way of computing the Chern classes of the associated vector bundles.

研究の動機と目的

• 再帰的群の表現に対する、完全に代数的でコホモロジーを含まないチャーン類の定義を提供すること。
• 有理数グレーディング表現環 R(G) とリー代数 g 上の不変多項式関数の環との間に標準的同型を確立すること。
• 表現 ρ のチャーン類とチャーン特性がそれぞれ det(1 + Lρ) および Tr(exp(Lρ)) で与えられることを示すこと。ここで Lρ はリー代数表現である。
• 結果を主 G バンドルに適用し、底空間のグレーディング K 環における特徴的類を定義すること。

提案手法

• 表現環 R(G) における λ-環構造を用い、外積による表現の λ-作用を定義する。
• グロテンディークの γ-フィルトレーションと、関連するグレーディング環における γp(x − ε(x)) を用いたチャーン類の構成を適用する。
• 最大トーラス T に対して R(T) がスプリット λ-環であるという事実を活用し、γ-フィルトレーションの明示的計算を可能にする。
• G の γ-フィルトレーションが、Weyl 群による不変性とアダムス作用の γ-フィルトレーションにおける挙動によって、T の γ-フィルトレーションから誘導されることを示す。
• カルタン部分代数 h への制限によって誘導される、Pol(g)^inv とグレーディング表現環との間の同型を用いる。
• 主 G バンドル P が底空間 B 上にあるとき、Pol(g)^inv から gr_Q K(B) への特徴的ホモモルフィズム c_P を適用し、不変多項式を底空間のグレーディング K 環における特徴的類にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群の表現に対するチャーン類を、コホモロジーまたはチャウ環に依存せずに定義する方法は何か？
• RQ2 再帰的群 G に対して、グレーディング表現環 gr_Q R(G) の正確な代数的構造は何か？
• RQ3 表現 ρ ∈ R(G) のチャーン類とチャーン特性が、リー代数表現 Lρ とどのように関係するか？
• RQ4 関連するベクトルバンドルの特徴的類を、リー代数上の不変多項式から代数的に計算できるか？
• RQ5 主 G バンドル P の特徴的類と、関連するベクトルバンドル P^ρ のチャーン類との関係は何か？

主な発見

• 有理数グレーディング表現環 gr_Q R(G) は、リー代数上の不変多項式関数の環 Pol(g)^inv に標準的同型である。
• 表現 ρ の総チャーン類 c(ρ) は、g 上の不変多項式として det(1 + Lρ) に等しい。
• チャーン特性 ch(ρ) は、g 上の不変多項式関数の環内で Tr(exp(Lρ)) に等しい。
• 底空間 B 上の主 G バンドル P に対して、gr_Q K(B) 内の特徴的類 c_P^{(i)} は、リー代数表現における不変多項式 I_i の評価によって得られる。
• 関連するベクトルバンドル P^ρ の総チャーン類は、F(c_P^{(1)}, ..., c_P^{(ℓ)}) に等しく、ここで F は det(1 + Lρ) = F(I_1, ..., I_ℓ) を満たす多項式である。
• 直交群およびシミレティック群の場合、c_P^{(p)} は c_{2p}(E_P) に一致する。特に SO(2ℓ) の場合、最後の類 c_P^{(ℓ)} は (c_P^{(ℓ)})^2 = c_{2ℓ}(E_P) を満たす。