[論文レビュー] Chern classes from Morava K-theories to $p^n$-typical oriented theories

Pavel Sechin|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、代数的モラバK理論 $K(n)^*$ から任意の $p^n$-typicalな向き付けられたコホロジー理論へのチャーン類を構成し、係数環が自由な $\mathbb{Z}_{(p)}$-加群である場合にそれらが操作を自由に生成することを証明する。主な貢献は、古典的K理論のフィルトレーションを模倣する $K(n)^*$ 上のガンマフィルトレーションを導入したことである。このフィルトレーションにより、チャーン類がコホロジー群に全射となることが、コドメイン $p^n$ まで保証され、射影的単純な多様体のチャーン群における torsion 評価が可能になる。

ABSTRACT

We study non-additive operations from algebraic Morava K-theories to oriented cohomology theories in algebraic geometry. For oriented cohomology theory $A$ that has a {$p^n$}-typical formal group law over a $\mathbb{Z}_{(p)}$-algebra we construct `Chern classes' from the algebraic $n$-th Morava K-theory with $p$-local coefficients to $A$. If the coefficient ring of $A$ is a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module we also prove that these Chern classes freely generate all operations from $\mathrm{K}(n)$ to $A$. Examples of such theories are algebraic Morava K-theories $\mathrm{K}(nm)^*$ for all $m\in\mathbb{N}$ and Chow groups with $p$-local coefficients. The universal $p^n$-typical oriented theory is $BP\{n\}^*$ whose coefficient ring is also a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module. Chern classes from the $n$-th algebraic Morava K-theory $\mathrm{K}(n)$ to itself allow us to introduce the gamma filtration on $\mathrm{K}(n)$. This is the best approximation to the topological filtration obtained by values of operations and it satisfies properties similar to that of the classical gamma filtration on $\mathrm{K}_0$. The major difference from the classical case is that Chern classes from the graded factors $gr^i_γ\mathrm{K}(n)^*$ to Chow groups with p-local coefficients are surjective for $i\le p^n$, which allows to estimate $p$-torsion in Chow groups of codimension up to $p^n$ of some varieties.

研究の動機と目的

• Cartierの $p^n$-typicalな形式群法則を $\mathbb{Z}_{(p)}$-代数へ一般化し、$p^n$-typicalな向き付けられたコホロジー理論を定義すること。
• 任意の $p^n$-typicalな向き付けられた理論への $n$-番目の代数的モラバK理論 $K(n)^*$ からのチャーン類の構成。
• 係数環が自由な $\mathbb{Z}_{(p)}$-加群である場合に、これらのチャーン類が操作の環を自由に生成することの証明。
• $K(n)^*$ 上にガンマフィルトレーションを定義し、チャーン類によるトポロジカルフィルトレーションの近似としての役割を果たすこと。
• コドメイン $i \leq p^n$ に対して、ガンマフィルトレーションの各階層からのチャーン類写像が $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ に全射であることを確立し、射影的単純多様体のチャーン群における torsion 評価を可能にすること。

提案手法

• $\mathbb{Z}_{(p)}$-代数上での $p^n$-typicalな形式群法則を導入し、古典的な $p$-typical性を一般化すること。
• 関連する形式群法則を用いて、$p^n$-typicalな向き付けられたコホロジー理論を定義すること。
• 普遍的性質とランドウエル型形式主義を用いて、$K(n)^*$ から任意の $p^n$-typical理論へのチャーン類を構成すること。
• 係数環が自由な $\mathbb{Z}_{(p)}$-加群である場合に、これらのチャーン類が操作の環を自由に生成することを証明すること。
• チャーン類の像を用いて $K(n)^*$ 上にガンマフィルトレーションを定義し、$K(n)^*$ から自身へのチャーン類の像によって誘導されるフィルトレーションとして定義すること。
• ビシクの加法的操作分類および $p$-進評価解析を用いて、チャーン類の像が $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ に写像する像を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $p^n$-typicalな向き付けられたコホロジー理論への $K(n)^*$ からのチャーン類を構成可能であり、かつ係数環が自由な $\mathbb{Z}_{(p)}$-加群である場合にそれらが操作を自由に生成するか。
• RQ2 $K(n)^*$ 上のガンマフィルトレーションは、$K_0$ 上の古典的ガンマフィルトレーションとどのように比較可能か。また、どのような性質を満たすか。
• RQ3 $K(n)^*$ 上のガンマフィルトレーションの各階層からのチャーン類写像の像は、$\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ のどのようになるか。
• RQ4 どのコドメイン $i$ に対して、チャーン類写像 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ が全射か。
• RQ5 これらのチャーン類の構造を用いて、射影的単純多様体のチャーン群における $p$-torsion をコドメイン $p^n$ まで推定可能か。

主な発見

• 任意の $p^n$-typicalな向き付けられた理論への $K(n)^*$ からのチャーン類が構成され、係数環が自由な $\mathbb{Z}_{(p)}$-加群である場合に、それらが操作の環を自由に生成することが保証された。
• $K(n)^*$ 上のガンマフィルトレーションは、$K(n)^*$ から自身へのチャーン類の像を用いて定義され、トポロジカルフィルトレーションの近似としての役割を果たす。
• $i \leq p^n$ に対して、チャーン類写像 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ は全射である。
• 第 $i$ 階のチャーン類の像 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ は $b_i \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$ に一致し、$b_i \in p^{\mathbb{N}}$ である。
• $i = kp^n + j$ で $1 \leq j \leq p^n$ の場合、像は $p^k \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$ に一致し、明確な $p$-進評価構造が得られる。
• これらの結果により、射影的単純多様体のコドメイン $p^n$ までのチャーン群における $p$-torsion を推定可能となった。