[論文レビュー] Morava K-theory of twisted flag varieties

V. A. Petrov, Nikita Semenov|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、等変指向コホモロジーとロストモチーフの技法を用いて、ねじれ旗多様体のモラバ K-理論を計算するフレームワークを開発する。これはグロテンディークの K⁰-理論における第二チルン類に類似した、モラバ K-理論からチャウ理論への全射的で加法的な作用素を構成し、Lubin-Tate形式群法則と局所化技法を活用して、等変コホモロジーにおける固定点計算を用いて、射影的二次曲面のモチーフを計算するためのアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In the present article we prove some results about the Morava K-theory. In particular, we construct an operation from the Morava K-theory to the Chow theory analogous to the second Chern class for Grothendieck's K0-theory. Furthermore, we investigate ordinary and equivariant oriented cohomology theories in the sense of Levine-Morel of projective quadrics, and discuss the Rost motives.

研究の動機と目的

• 特徴がゼロの体上のねじれ旗多様体のモラバ K-理論の計算フレームワークを構築すること。
• グロテンディークの K⁰-理論における第二チルン類に類似した、モラバ K-理論からチャウ理論への全射的で加法的な作用素を構築すること。
• 射影的二次曲面の文脈において、ロストモチーフの理論をモラバ K-理論および指向コホモロジーへ一般化すること。
• 任意の指向コホモロジー理論に関して、射影的二次曲面のモチーフを等変技法を用いて系統的に計算するためのアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 高さ n の Lazard 環を Lubin-Tate 形式群法則を介して商としてとるという代数的コボルディズムの普遍性を用いて、モラバ K-理論を定義する。
• トーラス作用の下での旗多様体および二次曲面における固定点寄与を計算するために、等変コホモロジーにおける局所化定理を適用する。
• 指向コホモロジー理論の文脈においてロストモチーフの構成を用いて、二次曲面のモチーフをより単純な成分に分解する。
• 特にアティヤ＝ボットの局所化原理を用いて、旗多様体および二次曲面の積の間の写像に沿った押し出しを計算するための等変コホモロジーにおける押し出し公式を活用する。
• Weyl群作用の下での旗多様体および二次曲面における固定点の重みを解析し、等変コホモロジールーリングの構造を特定する。
• 等変コホモロジーにおける押し出しの公式（例えば式 (6.4)）を適用して、トーラス作用を伴う空間間の写像による特徴的類の像を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、K⁰-理論における第二チルン類を一般化する、モラバ K-理論からチャウ環への標準的な作用素を構成できるか？
• RQ2 任意の指向コホモロジー理論に関して、射影的二次曲面のモチーフの構造はどのようになるか？
• RQ3 ロストモチーフは、モラバ K-理論および Lubin-Tate 形式群法則の文脈でどのように振る舞うか？
• RQ4 等変コホモロジーは、ねじれ旗多様体および二次曲面のモチーフを計算する上で、どのような役割を果たすか？
• RQ5 どのようにして、局所化および固定点データを用いて、旗多様体のモラバ K-理論を体系的に計算できるか？

主な発見

• Lubin-Tate 形式群法則によって生成されるイデアルを modulo したチャウ環への、モラバ K-理論から全射的で加法的な作用素が構成され、K⁰-理論における第二チルン類に類似している。
• 任意の指向コホモロジー理論に関して、射影的二次曲面のモチーフは、等変コホモロジーおよび固定点データに基づくアルゴリズムによって計算可能である。
• 写像 f: P(τ₂) → OGr(1,2,Q) におけるクラスの押し出しは、重みと局所化を用いて明示的に計算され、固定点およびそれらの正規バンドルからの寄与が含まれる。
• 点 (⟨e₁⟩,⟨e₁⟩) ∈ (Q×Q)^T に対して、押し出しには (l−2) 個の重みの積が含まれており、次元 2l−2 の部分二次曲面 Z の次元を反映している。
• (⟨e₁⟩,⟨e₂⟩) の固定点寄与は非ゼロであり、aₗ·(−χ₁−χ₂) に等しく、一方 (⟨e₁⟩,⟨e₋₁⟩) の固定点寄与は、f における前像が存在しないため消える。
• この手法により、すべての W-軌道の固定点をカバーし、各成分に局所化公式を適用することで、二次曲面の全モチーフが正しく計算された。