[論文レビュー] Chern-Simons Theory with Sources and Dynamical Quantum Groups I: Canonical Analysis and Algebraic Structures

E. Buffenoir, Roche, Ph.|ArXiv.org|May 26, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、動的源を持つチャーン・サイモンズ理論のハミルトニアン枠組みを構築し、体積内のゲージ不変な観測可能量のポアソン括弧が、三角関数型の動的 r-行列に従うことを示している。一般化されたフォック・ロスリ構造として、動的量子群代数を導入し、SL(2,R) および SL(2,C)R に対して明示的な量子化を提供することで、正の宇宙定数を有する 2+1次元量子重力理論におけるスピンする質量のある粒子の研究に役立つツールを提供する。

ABSTRACT

We study the quantization of Chern-Simons theory with group $G$ coupled to dynamical sources. We first study the dynamics of Chern-Simons sources in the Hamiltonian framework. The gauge group of this system is reduced to the Cartan subgroup of $G.$ We show that the Dirac bracket between the basic dynamical variables can be expressed in term of dynamical $r-$matrix of rational type. We then couple minimally these sources to Chern-Simons theory with the use of a regularisation at the location of the sources. In this case, the gauge symmetries of this theory split in two classes, the bulk gauge transformation associated to the group $G$ and world lines gauge transformations associated to the Cartan subgroup of $G$. We give a complete hamiltonian analysis of this system and analyze in detail the Poisson algebras of functions invariant under the action of bulk gauge transformations. This algebra is larger than the algebra of Dirac observables because it contains in particular functions which are not invariant under reparametrization of the world line of the sources. We show that the elements of this Poisson algebra have Poisson brackets expressed in term of dynamical $r-$matrix of trigonometric type. This algebra is a dynamical generalization of Fock-Rosly structure. We analyze the quantization of these structures and describe different star structures on these algebras, with a special care to the case where $G=SL(2,{\mathbb R})$ and $G=SL(2,{\mathbb C})_{\mathbb R},$ having in mind to apply these results to the study of the quantization of massive spinning point particles coupled to gravity with a cosmological constant in 2+1 dimensions.

研究の動機と目的

• チャーン・サイモンズ理論に動的点源を結合させた正準ハミルトニアン枠組みの構築。
• 体積内ゲージ変換に対して不変な関数のポアソン代数の解析、非再パrametrization不変な観測可能量を含む。
• 三角関数型の r-行列を用いて、フォック・ロスリ構造を動的設定に一般化すること。
• 得られたポアソン代数の量子化とスター構造の構成、特に SL(2,R) および SL(2,C)R に対して。
• 正の宇宙定数を有する 2+1次元量子重力理論における、質量のあるスピンする粒子間のレーダー時間などの物理的観測可能量を研究する基盤の提供。

提案手法

• 源を伴うチャーン・サイモンズ理論の正準解析を行い、ゲージ対称性をカルタン部分群に縮小する。
• 有理型タイプの動的 r-行列を用いて、源変数のディラック括弧を導出する。
• 源の位置で正則化を導入し、源をチャーン・サイモンズ理論に最小に結合する。
• 2種類のゲージ対称性を特定する：体積内 G 変換と世界線カルタン部分群変換。
• 三角関数型の動的 r-行列によって定義される、体積内ゲージ不変関数のポアソン代数を構成する。
• スター積によるポアソン代数の量子化を行い、SL(2,R) および SL(2,C)R に対して、量子群構造を用いて明示的な実現を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン・サイモンズ理論に動的源を伴う場合、ゲージ不変な観測可能量のポアソン括弧は、世界線パラメータ化にどのように依存するか？
• RQ2 体積内ゲージ変換に対して不変な関数のポアソン代数の代数的構造は何か？ そして、フォック・ロスリ構成をどのように一般化できるか？
• RQ3 動的 r-行列形式は、源を伴う状況下での観測可能量の代数的構造を記述するためにどのように利用できるか？
• RQ4 SL(2,R) および SL(2,C)R に対して、チャーン・サイモンズ理論に源を伴う場合に生じる量子代数の明示的なスター積と表現は何か？
• RQ5 量子モノドロミー代数はどのように構成され、その交換関係は何か？

主な発見

• 体積内ゲージ不変な観測可能量のポアソン括弧は、三角関数型の動的 r-行列に従い、フォック・ロスリ構造を一般化する。
• 観測可能量の代数は、ディラック観測可能量の代数よりも大きく、世界線再パラメータ化に敏感な部分観測可能量を含む。
• SL(2,R) および SL(2,C)R に対して、明示的なスター構造が構成され、スター作用は特定の行列転置と q-変形によって定義される。
• 動的モノドロミーの量子代数は、R-行列と F-行列を含む動的反射代数関係を満たす。
• 単一源代数の研究に還元可能な、ホロノミー代数の代数的構造を有し、ユニタリ表現の構成が可能になる。
• 量子モノドロミー代数は、R-行列と F-行列を含む動的量子群関係を満たし、既知の反射代数構造を一般化する。