[論文レビュー] Chiral algebras of class $\mathcal{S}$ and Moore-Tachikawa symplectic varieties

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、BRSTコホモロジーを用いて、任意の複素単純群 $G$ に対して、 genus zero の Moore-Tachikawa のシンプレクティック多様体のファンクター的な、チャノニカルな量子化を構成し、$υ^{/mathcal{S}}_{G,b}$ という一意な単純で共形的な頂点代数の族を確立する。これらの頂点代数の関連多様体が、幾何的ラングランズ双対性によって構成された $W^b_G$ シンプレクティック多様体に丁度一致することが示され、クラス $ mathcal{S}$ 理論における 4d/2d 双対性の数学的実現が得られる。

ABSTRACT

We give a functorial construction of the genus zero chiral algebras of class $\mathcal{S}$, that is, the vertex algebras corresponding to the theory of class $\mathcal{S}$ associated with genus zero pointed Riemann surfaces via the 4d/2d duality discovered by Beem, Lemos, Liendo, Peelaers, Rastelli and van Rees in physics. We show that there is a unique family of vertex algebras satisfying the required conditions and show that they are all simple and conformal. In fact, our construction works for any complex semisimple group G that is not necessarily simply laced. Furthermore, we show that the associated varieties of these vertex algebras are exactly the genus zero Moore-Tachikawa symplectic varieties that have been recently constructed by Braverman, Finkelberg and Nakajima using the geometry of the affine Grassmannian for the Langlands dual group.

研究の動機と目的

• 任意の複素単純群 $G$（特に simply laced でない場合を含む）に対して、genus zero のクラス $ mathcal{S}$ のチャノニカル代数のファンクター的で数学的に厳密な構成を提供すること。
• これらの頂点代数が、チャノニカルな量子モーメント写像を用いて単純で共形的であり、4d/2d 双対性の公理を満たすことを確立すること。
• 構成された頂点代数の関連多様体が、アフィングラスマンジャンと幾何的サタケ対応から生じる genus zero の Moore-Tachikawa シンプレクティック多様体 $W^b_G$ に丁度一致することを証明すること。
• 相対半無限コホモロジーを用いて、4d/2d 双対性の構造と一致する結合則条件を頂点代数が満たすことを確認すること。

提案手法

• 頂点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ を、Ginzburg-Kazhdan のアフィンリー代数への一般化による BRST複体のコホモロジーとして構成する。
• 臨界レベルの普遍アフィン頂点代数 $V^{\kappa_c}(\mathfrak{g})$ と、量子化されたドリンフェルト＝ソコロフ還元 $H_{DS}^0$ を用いて頂点代数を定義する。
• 群 $G^b$ の対称性を符号化するチャノニカルな量子モーメント写像 $\bigotimes_{i=1}^b V^{\kappa_c}(\mathfrak{g}) \to \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ を実装する。
• 相対半無限コホモロジー $H^{\frac{\infty}{2}+\bullet}(\widehat{\mathfrak{g}}_{-\kappa_{\mathfrak{g}}}, \mathfrak{g}, \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b} \otimes \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b'})$ を用いて、4d/2d 双対性の結合則を符号化する。
• ラングランズ双対群 $\check{G}$ のためのアフィングラスマンジャン $\mathrm{Gr}_{\check{G}}$ の幾何と幾何的サタケ対応に依拠して、シンプレクティック多様体 $W^b_G$ を定義する。
• 公理的条件 (1) と (2) を用いて一意性を検証し、可解最高ウェイトモジュール $\mathbb{V}_\lambda$ とワイルモジュールを用いて特徴関数の公式を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が simply laced でない場合を含めても、genus zero のクラス $ mathcal{S}$ 理論における 4d/2d 双対性の公理を満たす一意な頂点代数の族が存在するか？
• RQ2 構成された頂点代数の関連多様体は、アフィングラスマンジャンと幾何的サタケ対応から生じる Moore-Tachikawa シンプレクティック多様体 $W^b_G$ に丁度一致するか？
• RQ3 相対半無限コホモロジーによるチャノニカルな量子モーメント写像と結合則条件は、ファンクター的でコホモロジカルな枠組みで実現可能か？
• RQ4 頂点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ の明示的な特徴関数の公式は何か？ また、$\widehat{\mathfrak{g}}_{\kappa_c}$ の表現論的構造をどのように反映するか？
• RQ5 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ がすべての $b \geq 1$ およびすべての複素単純群 $G$ に対して単純で共形的か？

主な発見

• 頂点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ は公理 (1) と (2) によって一意に定まり、$\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,1} \cong H_{DS}^0(\mathcal{D}^{ch}_G)$ および $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,2} \cong \mathcal{D}^{ch}_G$ が成り立つ。
• すべての $b \geq 1$ および任意の複素単純群 $G$（特に simply laced でない群を含む）に対して、頂点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ は単純で共形的である。
• 関連多様体 $X_{\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}}$ は、アフィングラスマンジャンと幾何的サタケ対応によって構成された Moore-Tachikawa シンプレクティック多様体 $W^b_G$ に同型である。
• 頂点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ の中心的荷重は $b\dim\mathfrak{g} - (b-2)\operatorname{rk}\mathfrak{g} - 24(b-2)(\rho|\rho^\vee)$ で与えられ、共形不変性が確認される。
• 特徴関数の公式（命題 10.5）は、ワイルモジュールの積と分母公式の累乗の積として表され、表現論的構造を反映している。
• $G=SL_2$ の場合、$\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_2,4} \cong L_{-4}(D_4)$ であり、$X_{L_{-4}(D_4)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ in $D_4$ が成り立ち、$W^4_{SL_2} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ と一致する。
• $G=SL_3$ の場合、$\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_3,3} \cong L_{-3}(E_6)$ であり、$X_{L_{-3}(E_6)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ in $E_6$ が成り立ち、$W^3_{SL_3} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ と一致する。