[論文レビュー] Coulomb branches of $3d$ $\mathcal N=4$ quiver gauge theories and slices in the affine Grassmannian (with appendices by Alexander Braverman, Michael Finkelberg, Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Hiraku Nakajima, Ben Webster, and Alex Weekes)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、3次元 $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 型のクイバーゲージ理論のクーロン枝と、旗多様体 $G/B$ への基点付き有理写像の空間（非枠付きの場合）およびアフィングラスマンニアン内のスライス（枠付きの場合）のモジュライ空間との間で、正確な数学的同型を確立する。平坦性基準と因子分解性質を用いて、クーロン枝が $\hat{Z}^\alpha$、つまり $G/B$ への次数 $\alpha$ の基点付き有理写像の空間に同型であることを証明し、副記録でカムニツァーらによって、量子化されたクーロン枝が切り捨てられたシフトヤンギアンに同型であることが特定される。

ABSTRACT

This is a companion paper of arXiv:1601.03586. We study Coulomb branches of unframed and framed quiver gauge theories of type $ADE$. In the unframed case they are isomorphic to the moduli space of based rational maps from ${\mathbb C}P^1$ to the flag variety. In the framed case they are slices in the affine Grassmannian and their generalization. In the appendix, written jointly with Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Ben Webster, and Alex Weekes, we identify the quantized Coulomb branch with the truncated shifted Yangian.

研究の動機と目的

• 3次元 $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 型クイバーゲージ理論のクーロン枝 $Μ_C$ の数学的に厳密な記述を提供すること。
• 非枠付きの場合に、クーロン枝と旗多様体 $G/B$ への基点付き有理写像のモジュライ空間との間の同型を確立すること。
• 枠付きのクーロン枝がラングランズ双対群のアフィングラスマンニアン内のスライスとして特定されることを示し、以前の物理的予想を一般化すること。
• 副記録で示されたように、量子化されたクーロン枝が切り捨てられたシフトヤンギアンに同型であることを証明すること。

提案手法

• 平坦性基準の使用：Cohen-Macaulayなアフィン多様体 $Ω$ が $τ(V)/Ω$ に平坦に写像され、$Μ_C$ への中間の双有理同型が codimension 2 まで正則であるならば、その同型は全域に拡張される。
• モジュライ空間 $\hat{Z}^\alpha$ の因子分解性質を活用して、特異超平面を越えて双有理写像が拡張されることを検証する。
• 両者とも一般化された根超平面の補集合上で $T^*T(V)^\vee / Ω$ に双有理同型であるという事実を用いて、$\hat{Z}^\alpha$ と $Μ_C$ 間の双有理写像 $Ω^\circ$ を構成する。
• 基準を適用する際、因子分解を用いて超平面の一般点で拡張が可能かどうかをチェックし、問題を局所的解析に還元する。
• アフィングラスマンニアンの構造と $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の $G$-バンドルの幾何学を用いて、枠付きクーロン枝を部分的コンパクト化として記述する。
• 副記録では、アフィンリーヒューベルト代数の表現論と $\hat{G}_{\mathcal{O}}$-不変コホモロジーを用いて、量子化されたクーロン枝を切り捨てられたシフトヤンギアンと特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $\mathcal{N}=4$ クイバーゲージ理論の $ADE$ 型におけるクーロン枝は、旗多様体 $G/B$ への基点付き有理写像のモジュライ空間に同型であるか？
• RQ2 枠付きのクーロン枝は、ラングランズ双対群のアフィングラスマンニアン内のスライスとして特定できるか？
• RQ3 枠付きの場合に、量子化されたクーロン枝は切り捨てられたシフトヤンギアンと一致するか？
• RQ4 $\hat{Z}^\alpha$ の因子分解性質が、双有理写像を全域同型に拡張するためにどのように機能するか？
• RQ5 クーロン枝と $\mathbb{R}^3$ 上の $G_c$-モノポールのモジュライ空間との正確な関係は何か？

主な発見

• 非枠付きの $ADE$ クイバーゲージ理論のクーロン枝 $Μ_C$ は、$\hat{Z}^\alpha$、つまり $\mathbb{P}^1 \to G/B$ の次数 $\alpha$ の基点付き有理写像のモジュライ空間に同型であり、ここで $\alpha$ はクイバー表現の次元ベクトルによって決定される。
• 枠付きの場合、$Μ_C$ はラングランズ双対群 $\hat{G}$ のアフィングラスマンニアン内のスライスに同型であり、以前の物理的予想を一般化する。
• 量子化されたクーロン枝は、副記録で示されたように、$\hat{G}_{\mathcal{O}}$-不変コホモロジーとゼロ切断への制限写像 ${\mathbf{z}}^*$ を用いて、切り捨てられたシフトヤンギアンに同型である。
• 同型 $\hat{Z}^\alpha$ と $Μ_C$ の確立には平坦性基準が用いられ、双有理写像の拡張は因子分解と codimension-2 分析により検証された。
• 枠付きクーロン枝は、正規性（タイプ $A$ のみ既知）を仮定して、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上のパラボリック枠付き $G$-バンドルのモジュライ空間の部分的コンパクト化であることが示された。
• 同型の証明は、コホモロジールーピングの ${\mathbf{t}}$-変形の自明性（Weyl被覆性から従う）と、一般ファイバーにおける写像の上への性質（変形論的議論により確立）に依存している。