[論文レビュー] Chiral de Rham complex and the half-twisted sigma-model

Anton Kapustin|ArXiv.org|Apr 8, 2005

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 6被引用数 79

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体上のchiral de Rham複体のコホモロジーが、半ツイストN=2シグマ模型の無限体積極限と同型であることを確立する。半ツイストモデルにおける相関関数が、摂動論的すべての位階でケーラーmoduliに依存しないことを示し、非摂動的補正は世界面インスタントンからのみ生じる。これにより、幾何的層であるchiral代数の層と物理的量子場理論が結びつけられる。

ABSTRACT

On any Calabi-Yau manifold X one can define a certain sheaf of chiral N=2 superconformal field theories, known as the chiral de Rham complex of X. It depends only on the complex structure of X, and its local structure is described by a simple free field theory. We show that the cohomology of this sheaf can be identified with the infinite-volume limit of the half-twisted sigma-model defined by E. Witten more than a decade ago. We also show that the correlators of the half-twisted model are independent of the Kahler moduli to all orders in worldsheet perturbation theory, and that the relation to the chiral de Rham complex can be violated only by worldsheet instantons.

研究の動機と目的

• chiral de Rham複体とCalabi-Yau多様体上の半ツイストシグマ模型の間の明確な数学的・物理的対応を確立すること。
• chiral de Rham複体は複素構造にのみ依存するが、半ツイストモデルは複素構造とケーラー構造の両方に依存するという、モジュライ依存性の相違のパズルを解明すること。
• 半ツイストモデルの相関関数が摂動論的独立性を示す理由を明らかにし、非摂動的補正の原因を特定すること。
• chiral de Rham複体のコホモロジーが、大体積極限における半ツイストシグマ模型の全物理的内容を捉えていることを示すこと。

提案手法

• BRST量子化を用いて、特定のBRST生成子 $ Q_{\text{BRST}} = \bar{Q}_+ $ を用いて半ツイストシグマ模型の作用を構築し、その演算子代数が正則 $ N=2 $ スーパーリーマン場理論を形成することを示す。
• シグマ模型の作用を、トポロジカル項 $ \frac{1}{4\pi}\int \phi^*(\omega + iB) $、BRST自明項 $ \frac{1}{\pi}\int d^2z \{ \bar{Q}_+, V \} $、および複素構造にのみ依存する残りの項の和として書き直す。
• 演算子代数とBRSTコホモロジー構造の一致により、半ツイストモデルの無限体積極限をchiral de Rham複体のコホモロジーと特定する。
• chiral de Rham複体がCalabi-Yau多様体上に $ N=2 $ スーパーリーマン場理論の層であり、局所的には $ n $ 個の $ \beta\gamma $-$ bc $ システムのコピーで与えられることを用いる。
• 半ツイストモデルのBRSTコホモロジーを解析し、ケーラーmoduliへの依存性がトポロジカル項およびBRST自明項に完全に含まれることを示し、摂動論的独立性を示す。
• 非摂動的補正は世界面インスタントンからのみ生じることを主張する。世界面インスタントンは $ \bar{\partial}\phi^i = 0 $ を満たすホロモーフィック写像 $ \phi^i $ であり、chiral de Rham複体はこのようなインスタントンによって修正される可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 chiral de Rham複体のコホモロジーは、半ツイストシグマ模型の無限体積極限と同型であるか？
• RQ2 半ツイストモデルは、その見た目上ケーラークラスに依存しているにもかかわらず、なぜ世界面の摂動論的すべての位階でケーラーmoduliに依存しないのか？
• RQ3 世界面インスタントンは、chiral de Rham複体と半ツイストモデルの間の対応を破壊する可能性があるか？
• RQ4 chiral de Rham複体は、非Calabi-Yau多様体やより一般の異常キャンセリングを持つベクトル束へ一般化可能か？
• RQ5 chiral de Rham複体は、Calabi-Yau多様体の楕円的 genus およびオイラー特性とどのように関係するか？

主な発見

• Calabi-Yau多様体上のchiral de Rham複体のコホモロジーは、半ツイストシグマ模型の無限体積極限と同型であり、明確な物理的・幾何的対応が確立される。
• 半ツイストモデルにおける相関関数は、世界面の摂動論的すべての位階でケーラーmoduliに依存しない。ケーラー依存性は完全にトポロジカル項およびBRST自明項に含まれる。
• 対応への非摂動的補正は、世界面インスタントンからのみ生じる。世界面インスタントンは、多様体へのホロモーフィック写像である。
• chiral de Rham複体は、Calabi-Yau多様体上に正則 $ N=2 $ スーパーリーマン場理論の層であり、局所的には $ n $ 個の $ \beta\gamma $-$ bc $ システムのコピーで与えられる。
• chiral de Rham複体コホモロジーのオイラー特性は、Calabi-Yau多様体の二変数楕円的 genus と一致し、既知の数学的結果と整合することが確認される。
• 非Calabi-Yau多様体では、chiral de Rham複体は正則演算子代数の層のままであるが、$ J_- $ および $ Q_- $ 生成子の欠如により、グローバルな $ N=2 $ スーパーリーマン構造を欠く。