[論文レビュー] Mirror Manifolds And Topological Field Theory

Edward Witten|ArXiv.org|Dec 19, 1991

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 400

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体における鏡映性のための位相的場理論枠組みを確立し、ホロモルフィック写像の数え上げ（Aモデル）と微分形式の周期（Bモデル）を通じて相関関数を計算する2つのねじれたモデル—AおよびB—を導入する。主な結果は、物理的スカラー模型におけるユカワ結合定数がねじれたモデルにおける観測可能量と一致することであり、インスタントン補正された振幅の正確な計算を可能にし、鏡写し写像の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

These notes are devoted to explaining aspects of the mirror manifold problem that can be naturally understood from the point of view of topological field theory. Basically this involves studying the topological field theories made by twisting $N=2$ sigma models. This is mainly a review of old results, except for the discussion in \S7 of certain facts that may be relevant to constructing the ``mirror map'' between mirror moduli spaces.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体の文脈において、鏡映性が位相的場理論からどのように生じるかを明確化すること。
• AモデルおよびBモデルにおける相関関数が、幾何的不変量を通じて物理的観測可能量（例えば、ユカワ結合定数）を計算することを示すこと。
• Calabi-Yau多様体間の鏡写し写像を理解するための自然な枠組みとして、拡張されたモジュライ空間を提案すること。
• 次元数え上げとC*-作用の対称性により、Aモデルにおける計量に対するインスタントン補正が消えることの証明。
• AモデルおよびBモデルの両方におけるモジュライ空間上の指数関数的写像と線形構造の役割の探求。

提案手法

• リーマン面Σ上のN=2非線形スカラー模型をねじることで、ホロモルフィック写像のためのねじれAモデルと、微分形式の周期のためのねじれBモデルという2つの位相的場理論が得られる。
• Aモデルの相関関数は、制約付きでΣ→Xへのホロモルフィック写像の数え上げにより計算され、 genus zero で2つのマークド点を持つ曲面上でのC*-作用により、仮想次元が0に還元される。
• Bモデルの相関関数は、X上のサイクルを介した微分形式の積分により計算され、古典的なコhomologicalデータに対応する。
• フェインマン経路積分形式における固定点定理により、両モデルにおける観測可能量が古典的幾何に還元される仕組みが説明される。
• 物理的ユカワ結合定数は、元のねじれなしモデルにおける行列要素として特定され、genus zero 条件下でねじれたAおよびBモデルの観測可能量と一致する。
• A(X)およびB(Y)のための拡張されたモジュライ空間が導入され、B(Y)上の計量が鏡写し写像を理解する鍵であると提案される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体のAモデルおよびBモデルは、どのようにN=2非線形スカラー模型をねじることで導出可能か？
• RQ2 なぜAモデルの相関関数は有理曲線の数え上げを計算し、Bモデルの相関関数はそれぞれの周期を計算するのか？
• RQ3 物理的ユカワ結合定数が、ねじれたAモデルおよびBモデルの観測可能量と、どのような意味で一致するのか？
• RQ4 非自明なホロモルフィック写像が存在するにもかかわらず、なぜAモデルにおける計量に対するインスタントン補正が消えるのか？
• RQ5 AモデルおよびBモデルの拡張されたモジュライ空間は、鏡写し写像をより深く理解するのにどのように寄与するのか？

主な発見

• Aモデルの相関関数は、C*-作用によりgenus zero で2つのマークド点を持つ曲面上で仮想次元が0に還元される制約付きホロモルフィック写像Σ→Xの数え上げにより決定される。
• Bモデルの相関関数は、X内のサイクルを介した微分形式の積分により計算され、Calabi-Yau3-foldにおけるホロモルフィック(3,0)-形式の周期に対応する。
• 物理的スカラー模型におけるユカワ結合定数は、非摂動定理とgenus zero 条件のおかげで、それぞれAモデルおよびBモデルの観測可能量と一致する。
• Aモデルにおける計量へのインスタントン補正は、2つのサイクルと交差する有理曲線のモジュライ空間の仮想次元が負（-2）であるため、C*-商後にも一般に空集合であるために消える。
• Bモデルの拡張されたモジュライ空間はまだ完全には理解されていないが、鏡写し写像の自然な設定であると予想され、この空間上の計量が等長変換を除いて写像を決定する可能性がある。
• Aモデルのモジュライ空間上の指数関数的写像は、⊕ₙHⁿ(X,C)上の線形構造に対応するが、Bモデルにおける類似物はまだ十分に理解されておらず、基点に依存する可能性がある。