[論文レビュー] Choquet expectations and g-expectations with multi-dimensional Brownian motion

Mingshang Hu|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、g-期待値がChoquet期待値と一致するための必要十分条件を特定する。それは、生成子gがyに依存せず、zに関して線形である、すなわちg(t,z) = ∑ g(t,e_i)z_iであることに他ならない。これは、tに関する連続性の仮定を必要とせず、1次元ブラウン運動に限らない多次元ブラウン運動の設定でも成り立つ。証明は、共モノトニックな指標関数と後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の性質に依拠している。

ABSTRACT

We prove that a g-expectation is a Choquet expectation if and only if g is independent of y and is linear in z, i.e., classical linear expectation, without the assumptions that the deterministic generator g is continuous in t and the dimension of the Brownian motion is one.

研究の動機と目的

• 多次元ブラウン運動の文脈において、g-期待値がChoquet期待値と一致する正確な条件を特定すること。
• 従来の結果（1次元ブラウン運動に限られ、gが連続であると仮定）を、これらの制限的仮定を排除することで拡張すること。
• 多次元ブラウン運動の成分同士が共モノトニックでないという課題を解決すること。これは、従来の手法の直接的な拡張を不可能にする。
• gがzに関して線形かつyに依存しないとき、g-期待値とChoquet期待値が正確に一致することを確立すること。これは次元やgの連続性に依存しない。

提案手法

• Choquet期待値の共モノトニック加法性を活用するため、テスト用の共モノトニックな指標関数を用いる。
• リプシッツ連続な生成子gが(H1)–(H3)を満たす後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解理論を適用する。
• {W_T^1 ≥ n} や {W_T^2 ≥ 0} のような事象の指標関数に対応するBSDEの解の列を用いた極限の議論を行う。
• BSDEの解のL²収束下での安定性とgのリプシッツ連続性を用い、極限に移行してgの関数方程式を導出する。
• 対称性と変換の議論（例：W を (W^1, -W^2) に置き換える）を用いて、z空間のすべての象限領域に線形性の結果を拡張する。
• 次元ごとの再帰的分解法を用い、直交射影によりd次元のケースを低次元のケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子gがどのような条件下で、多次元ブラウン運動におけるg-期待値がChoquet期待値と一致するか。
• RQ2 1次元の場合に得られた結果（gがyに依存せずzに関して線形であること）が、gの連続性の仮定なしに高次元に拡張可能か。
• RQ3 標準的な共モノトニック性に基づく手法がなぜ多次元設定では失敗するのか。また、どのようにしてこれを適応可能にするか。
• RQ4 一般のd次元設定において、g-期待値がChoquet期待値であるための必要十分条件として、gがzに関して線形かつyに依存しないことは本当に必要かつ十分か。
• RQ5 g-期待値がChoquet期待値の共モノトニック加法性を満たすとき、gの関数形を完全に特徴づけられるか。

主な発見

• g-期待値がChoquet期待値であるための必要十分条件は、生成子gがyに依存せず、zに関して線形であること、すなわちg(t,z) = ∑_{i=1}^d g(t,e_i) z_i である。
• この特徴づけは、gがtに関して連続である必要がなく、d ≥ 2の多次元ブラウン運動に対しても成り立つ。
• 証明により、gはR^dのすべての象限においてzに関して加法的かつ斉次的であることが示され、結果としてzに関して完全な線形性が得られる。
• 共モノトニックな指標関数に対応するBSDEの解の列を構成し、収束性とリプシッツ性を用いることで、この結果が得られる。
• 成分同士が共モノトニックでないという問題を、適切に選んだテスト関数と対称性の議論により克服する。
• 最終的な特徴づけにより、g(t,z)はzに関する線形汎関数であり、各標準基底ベクトルe_iに対応する係数g(t,e_i)を持つ。