[論文レビュー] Chow Quotients of Grassmannians II

Seán Keel, Jenia Tevelev|ArXiv.org|Jan 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、チャウ商を用いて、$X(r,n) = \mathrm{Gr}(r,n)^0 / \mathrm{G}_m^n$ のコンpakto化を構成し、$\overline{M}_{0,n}$ を高次元のグラスマン数の商へ一般化する。コンパクト化 $\overline{X}(r,n)$ に対して、半対数正則対のモジュライ解釈を確立し、極限における退化族の特別ファイバーをティーツのビルディングを用いて記述することで、特異点がトロイドナルであり、格子のフィルトレーションとビルディング内の凸包を用いて極限安定対の幾何を記述する。

ABSTRACT

We consider Kapranov's Chow quotient compactification of the moduli space of ordered n-tuples of hyperplanes in P^{r-1} in linear general position. For r=2 this is canonically identified with the Grothendieck-Knudsen compactification of M_{0,n} which has among others the nice properties 1) Modular meaning: stable pointed rational curves 2) Canonical description of limits of one parameter degenerations 3) Natural Mori theoretic meaning: log canonical compactification. We prove (1-2) generalize naturally to all (r,n), but that (3), which we view as the deepest, fails except possibly in the cases (2,n),(3,6),(3,7),(3,8), where we conjecture it holds. The same generalization of (1) was given recently (and independently) by Hacking.

研究の動機と目的

• $X(r,n) = \mathrm{Gr}(r,n)^0 / \mathrm{G}_m^n$ の自然なコンパクト化 $\overline{X}(r,n)$ を構成し、$\overline{M}_{0,n}$ を一般化すること。
• コンパクト化 $\overline{X}(r,n)$ を半対数正則対の空間としてのモジュライ解釈を確立し、$\overline{M}_{0,n}$ の安定曲線のモジュライ解釈を拡張すること。
• $\mathbb{P}^{r-1}$ 内の $n$ 個の超平面の退化族の極限を、$\mathrm{PGL}_r(K)$ のティーツのビルディングを用いて記述し、$r=2$ の場合のカプラノフの結果を一般化すること。
• $R = k[[z]]$ 上の族における特別ファイバーの特異点を解析し、それらがトロイドナルであり、格子のフィルトレーションとビルディング内の凸包を用いて局所構造を記述すること。

提案手法

• $H = \mathbb{G}_m^n$ を用いたチャウ商の構成 $\overline{X}(r,n) = \mathrm{Gr}(r,n) // H$ を用い、$X(r,n)$ をコンパクト化する。ゲルファンド＝マクフィソン対応を活用する。
• ティーツのビルディングの理論を適用し、退化族の極限を記述する：$\mathbb{P}^{r-1}$ 内の $n$ 個の超平面の族に対して、極限は $\mathrm{PGL}_r(K)$ のビルディングにおける安定格子類の凸包に符号化される。
• 有限な凸部分集合 $Y \subset \mathcal{B}$ に含まれる安定クラス $\mathrm{Stab}$ を含む、射影バンドル $\mathbb{S}_Y$ のジョインを導入し、極限幾何をパラメトライズする。
• ラフォルジュの可視的輪郭の構成を用いて、族 $p: (\mathcal{S}, \mathcal{B}) \to \overline{X}(r,n)$ を定義し、特別ファイバー $S_Y$ と境界 $B = \sum \mathbb{B}_i$ を得る。
• ビルディングの層化と格子のフィルトレーションの組合せ論を用いて、特別ファイバー $(S_Y, B)$ の特異点を解析し、特異点がトロイドナルであり、有界な $2$-層に分類されることを示す。
• $\Omega^1_p(\log \mathcal{B})$ の相対対数微分のバンドルを用いて退化の幾何を研究し、$V_n$ からの正則切断と残留写像を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X(r,n)$ のコンパクト化 $\overline{X}(r,n)$ が、$\overline{M}_{0,n}$ のモジュライ的性質、モーリー的性質、極限的性質を一般化するものとして存在するか？
• RQ2 $\mathbb{P}^{r-1}$ 内の $n$ 個の超平面の退化族の極限が、$\mathrm{PGL}_r(K)$ のティーツのビルディングを用いて記述可能であり、$r=2$ の場合のカプラノフの結果を一般化できるか？
• RQ3 $R = k[[z]]$ 上の族における特別ファイバー $S_Y$ の構造は何か？ その特異点はどのような性質を持つか？
• RQ4 ペア $(S_Y, B)$ はトロイドナルか？ その成分と特異点はビルディング内の安定格子クラスの凸包とどのように関係するか？
• RQ5 チャウ商 $\overline{X}(r,n)$ は、特に例外的な場合 $(3,6), (3,7), (3,8)$ において、$X(r,n)$ の対数正則モデルであるか？

主な発見

• チャウ商 $\overline{X}(r,n) = \mathrm{Gr}(r,n) // H$ は、$X(r,n)$ のコンパクト化を提供し、$\overline{M}_{0,n}$ のモジュライ的および極限的性質を満たし、高ランクに一般化する。
• $\mathrm{Spec}(R)$ 上の族における特別ファイバー $S_Y$ は、安定格子クラス $[M] \in \mathrm{Stab}$ 上の射影バンドル $\mathcal{P}(M)$ の和集合であり、ビルディング内の $1$-層に対応する境界成分に沿って貼り合わされる。
• $(S_Y, B)$ の特異点はトロイドナルであり、局所解析的モデルは $\mathbb{A}^n$ 内の線形部分空間の和集合であり、ビルディング内の有界な $2$-層によって分類される。
• 境界成分 $\mathbb{B}_i$ は $i$ 番目の超平面の退化に対応し、それらの交わりはビルディングの組合せ論によって記述される：対応する格子クラスが $1$-層を囲む場合、交わりは $\mathbb{P}^1$ となる。
• $\Omega^1_p(\log \mathcal{B})$ のバンドルは、$V_n$ からの $S_n$-可換写像を備え、特別ファイバーへの制限は滑らかさの選択に依存せず、$H^0(S_Y, \Omega^1_{S_Y}(\log B))$ 上に $V_n$-作用を標準的に与える。
• $(2,n), (3,6), (3,7), (3,8)$ の例外的ケースにおいて、チャウ商 $\overline{X}(r,n)$ は対数正則モデルであると予想され、例外的根系との関係が示唆される。