[論文レビュー] Compact moduli of hyperplane arrangements

Paul Hacking|ArXiv.org|Oct 30, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、極小モデルプログラムを用いて超平面配置をコンパクト化する安定対のモジュライ空間が、Kapranovのチャウ商コンパクト化と集合的に一致することを確立する。主な貢献は、すべての安定対が超平面配置の退化として完全に明示的に分類されることであり、それらが有理的かつ正規なストラタを持つトーリックで、格子多面体の多面体分割に対応する組合せ型を有することを示している。

ABSTRACT

The minimal model program suggests a compactification of the moduli space of hyperplane arrangements which is a moduli space of stable pairs. Here, a stable pair consists of a scheme X which is a degeneration of projective space and a divisor D=D_1+..+D_n on X which is a limit of hyperplane arrangements. For example, in the 1-dimensional case, the stable pairs are stable curves of genus 0 with n marked points. Kapranov has defined an alternative compactification using his Chow quotient construction, which may be described fairly explicitly. We prove that these two compactifications coincide. We deduce a description of all stable pairs.

研究の動機と目的

• 極小モデルプログラムから得られる安定対のモジュライ空間と、超平面配置のKapranovのチャウ商コンパクト化との間で、集合的同型を確立すること。
• コンパクト化において生じるすべての退化した安定対の明示的な幾何学的・組合せ的記述を提供すること。
• コンパクト化されたモジュライ空間の特異点がトーリックであること、および安定対が自然な対数構造をもち、変形が局所的に障害のないことを示すこと。
• 各安定対がグラスマンニアンへの標準埋め込みが対数微分形式から生じることを示し、ファイバーの一意性を保証すること。
• チャウ商 C_{k,n} 上の族が、すべての安定対を同型を除いて一意にパラメトライズすることを検証すること。

提案手法

• 極小モデルプログラム（MMP）を用いて、射影空間の退化 X と超平面配置の極限 D を持つ安定対 (X,D) のモジュライ空間のコンパクト化を定義する。
• Kapranovのチャウ商構成を用いて、同じモジュライ空間の別コンパクト化を定義する。これは、SL(k) の作用における (P^{k-1})^n のチャウ多様体における一般的軌道閉包の閉包を用いる。
• チャウ商 C_{k,n} 上に安定対の族を構成し、開部分集合 H_{k,n} 内の点におけるファイバーが対応する超平面配置であることを示す。
• 各安定対 (X,D) を対数微分形式を用いてグラスマンニアン G(k-1,n-1) に埋め込む標準的埋め込みを用い、C_{k,n} の点と安定対の同型類との間の全単射を証明する。
• ハイパーシンプレックス Δ(k,n) の多面体分割に関連するセルホモロジー複体の完全性を用いて、H^i(O_X) = 0 (i > 0) を示し、有理的特異点を示す。
• 安定対の対数変形理論を用い、対数変形が局所的に障害のないことを踏まえ、コンパクト化されたモジュライ空間がトーリック特異点をもつことを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小モデルプログラムから得られる安定対のモジュライ空間は、超平面配置のKapranovのチャウ商コンパクト化と一致するか？
• RQ2 コンパクト化に現れる退化した安定対の明示的な幾何学的・組合せ的構造は何か？
• RQ3 安定対およびモジュライ空間 C_{k,n} の特異点はどのように振る舞い、それらをトーリックとして記述できるか？
• RQ4 各安定対のグラスマンニアン G(k-1,n-1) への標準的埋め込みは、対数微分形式を用いて明示的に構成可能か？
• RQ5 チャウ商 C_{k,n} 上の族は普遍的であるか？すなわち、すべての安定対が一意なファイバーとして現れるか？

主な発見

• 安定対のモジュライ空間とKapranovのチャウ商コンパクト化は、集合として同型であり、各安定対が C_{k,n} 上のファイバーとしてちょうど1つずつ現れることを意味する。
• すべての安定対は正規かつ有理的で、トーリック特異点をもち、ストラタは正規かつ有理的であり、その分類はハイパーシンプレックス Δ(k,n) の多面体分割によって記述される。
• k=3 の場合、特異点における局所的ジェルム (P ∈ X, D) の同型型はちょうど10種類であり、組合せ的データによって完全に分類される。
• 各安定対 (X,D) のグラスマンニアン G(k-1,n-1) への標準的埋め込みは、対数微分形式の層を用いて定義され、これは一意的かつ単射的である。
• コホモロジー H^i(O_X) はすべての i > 0 に対して消える。これは、ハイパーシンプレックスの多面体分割に関連するセルホモロジー複体の完全性から従う。
• モジュライ空間 C_{k,n} はトーリック特異点をもち、特異点はセグレ埋め込みのコーンと局所的に同型である。例えば、C_{3,6} では C(P^1 × P^2) の形をとり、15個のこのような特異点を持つ。