[論文レビュー] Chow Quotients of Toric Varieties as Moduli of Stable Log Maps

Qile Chen, Matthew Satriano|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、射影的正規トーリック多様体 $X$ とランク1の部分トーラス $T_0$ に対して、 Chow 商 $X//T_0$ の正規化が、固定された曲線類と接触順序をもつ有理曲線からの安定化対数写像の粗モジュライ空間に同型であることを確立する。この構成では、軌道閉包 $Z_x = \overline{T_0 x}$ を用いて、$T' = T/T_0$ から Kontsevich 空間 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ への写像を定義し、この像の閉包が安定化対数写像の粗モジュライ空間を与える。これにより、対数 Gromov-Witten 理論を用いた Chow 商の幾何的解釈が得られる。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective normal toric variety and $T_0$ a rank one subtorus of the defining torus of $X$. We show that the normalization of the Chow quotient $X//T_0$, in the sense of Kapranov-Sturmfels-Zelevinsky, coarsely represents the moduli space of stable log maps to $X$ with discrete data given by $T_0\subset X$.

研究の動機と目的

• トーリック多様体の Chow 商と安定化対数写像のモジュライ空間との間に幾何的対応を確立すること。
• Chow 商 $X//T_0$ の正規化が、離散的データ $\Gamma_0 = (0,\beta_0,2,\{c_0,c_\infty\})$ をもつ安定化対数写像のモジュライスタック $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ を粗く表現することを示すこと。
• Kontsevich 空間 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ における $T'$ の閉包を用いた $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ の代替的構成を提供すること。これは Chow 商の構成と類似している。
• Olsson のトーリック Hilbert 棄却の結果を Kontsevich 空間の文脈に拡張し、$\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0}$ における $T'$ の閉包の正規化が、安定化対数写像のモジュライ解釈をもつことを示すこと。

提案手法

• 固定次元およびホモロジー類をもつサイクルの Chow 多様体 $C(X)$ における $T' = T/T_0$ の閉包として Chow 商 $X//T_0$ を定義する。
• 各 $x \in T$ に対して、軌道閉包 $Z_x = \overline{T_0 x}$ の正規化の像として $\mathbb{P}^1 \to X$ となる安定写像 $f_x$ を対応させる事で、$T' \to \mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ なる準同型を構成する。
• $\mathfrak{M}$ を $T'$ の Kontsevich 空間 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ における像の閉包として定義し、$\mathfrak{M}$ が $X//T_0$ の有理的モデルであることを示す。
• 対数滑らかさおよび genus 0 のモジュライスタックの既約性を用いて、$\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ が $\mathfrak{M}$ の正規化であることを証明する。
• 対数幾何を用いて、接触順序 $c_0, c_\infty$ を安定化対数写像に関連する対数曲線の非有界辺の傾きとして解釈する。
• 射影的正規トーリック多様体上の標準的対数構造 $\mathcal{M}_X$ が一般化 Deligne-Faltings であることを示し、Abramovich-Chen および Gross-Siebert の対数 Gromov-Witten 理論と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chow 商 $X//T_0$ の正規化は、固定された離散的データ $\Gamma_0 = (0,\beta_0,2,\{c_0,c_\infty\})$ をもつ $X$ への有理曲線からの安定化対数写像の粗モジュライ空間に同型であるか？
• RQ2 Chow 商の構成を、Chow 多様体の代わりにモジュライ空間 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ を用いた Kontsevich 空間の安定写像に再解釈できるか？
• RQ3 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0}$ における $T'$ の閉包の正規化は、Olsson のトーリック Hilbert 棄却の結果と同様に、安定化対数写像のモジュライ解釈をもつか？
• RQ4 対数曲線は、トーリック多様体への安定化対数写像の文脈で、接触順序 $c_0$ と $c_\infty$ をどのように符号化するか？
• RQ5 射影的正規トーリック多様体上の標準的対数構造 $\mathcal{M}_X$ は一般化 Deligne-Faltings であるか？これにより、対数 Gromov-Witten 理論と整合するか？

主な発見

• Chow 商 $X//T_0$ の正規化は、2つのマークド点と固定された曲線類 $\beta_0$ および接触順序 $c_0, c_\infty$ をもつ有理曲線からの安定化対数写像のモジュライスタック $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ の粗モジュライ空間に同型である。
• モジュライ空間が粗モジュライ空間であることと、$X//T_0$ の正規化が既約であることから、スタック $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ も既約である。
• Kontsevich 空間 $\mathfrak{M}_{0,2}(X,\beta_0)$ における $T'$ の閉包 $\mathfrak{M}$ は、自身の正規化と同型であり、その正規化は $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ に同型である。これにより、新たなモジュライ解釈が確立される。
• 接触順序 $c_0$ および $c_\infty$ は、安定化対数写像に関連する対数曲線の非有界辺の傾きに対応し、接する条件の組合せ的解釈が得られる。
• 射影的正規トーリック多様体上の標準的対数構造 $\mathcal{M}_X$ は、$[A_P/\mathbb{G}_m]$ からの厳密な滑らかな被覆を構成し、適切なチャートの存在を確認することで、一般化 Deligne-Faltings であることが示された。
• モジュライスタック $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ は対数滑らかであり、したがって正規である。これは、$\mathfrak{M}$ の正規化が $\mathcal{K}_{\Gamma_0}(X)$ に一致することを示すために重要な要素である。