[論文レビュー] Chow rings and gonality of general abelian varieties

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有理同値関係の下でのゼロサイクルの軌道を分析することにより、非常に一般なアーベル多様体の被覆ゴノリティーに関する上限を確立する。次を示す：次元 $ g \geq 2k-1 $ の非常に一般なアーベル多様体について、軌道 $ |k\{0_A\}| $ は可算である。これは、このような多様体が $ k $-ゴノリティー曲線を含まないことを意味し、ゴノリティーが次元とともに増加することを確認する。これはゴノリティーが $ \log g $ のように増加するという予想を支持し、チャウ環に関して新たな結果を示し、$ g \geq 2k-1 $ のとき $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ に対して $ D^k $ が torsion でないことを示す。

ABSTRACT

We study the (covering) gonality of abelian varieties and their orbits of zero-cycles for rational equivalence. We show that any orbit for rational equivalence of zero-cycles of degree $k$ has dimension at most $k-1$. Building on the work of Pirola, we show that very general abelian varieties of dimension $g$ have covering gonality $k\geq f(g)$ where $f(g)$ grows like ${ m log}\,g$. This answers a question asked by Bastianelli, De Poi, Ein, Lazarsfeld and B. Ullery. We also obtain results on the Chow ring of very general abelian varieties, eg. if $g\geq 2k-1$, for any divisor $D\in { m Pic}^0(A)$, $D^k$ is not a torsion cycle.

研究の動機と目的

• 非常に一般なアーベル多様体の被覆ゴノリティーを特定し、それが次元とともに増加することを確立すること。
• 対称積 $ A^{(k)} $ における有理同値関係の下での次数 $ k $ ゼロサイクルの軌道を分析すること、特に $ |k\{0_A\}| $ に注目すること。
• $ g \geq 2k-1 $ のとき、軌道 $ |k\{0_A\}| $ が可算であることを証明し、その結果、このような多様体に $ k $-ゴノリティー曲線が存在しないことを示すこと。
• 非常に一般なアーベル多様体のチャウ環の構造を調査し、特に $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ に対して $ D^k $ が非 torsion である性質を調べること。
• 予想 0.2 に対する証拠を提供し、その証明に向けた戦略を提示すること。この予想は、$ g \geq 2k-1 $ のときゴノリティーが少なくとも $ k+1 $ であると述べている。

提案手法

• ゼロサイクルの有理同値関係の理論を用い、$ A^{(k)} $ 内のそれらの軌道を研究し、任意のこのような軌道の次元が高々 $ k-1 $ であることを示す。
• 一般化されたクラスマ多様体 $ K_{k-1}(A) $ を用いた代数幾何学的技法を適用し、低次元の場合の軌道次元を制限する。
• 変形理論と和写像 $ \sigma: A^{(k)} \to A $ を用い、正規化された軌道およびその接空間を分析する。
• ピロラの結果（次元 $ \geq 3 $ の一般なアーベル多様体には双曲的曲線が存在しない）を用い、それをより高いゴノリティーに一般化する。
• 次数 $ k $ の正規化された軌道が正次元を持つ点の集合 $ Z_A \subset A $ を分析し、その次元を調べることで予想 5.2 を支持する。
• 有理同値関係の下での軌道が代数的部分多様体であることに着目し、$ K_{k-1}(A) $ 上の正則 2-形式を用いて、同一直線的部分多様体を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ g $ の非常に一般なアーベル多様体の被覆ゴノリティーは、$ g \to \infty $ のとき無限大に発散するか？
• RQ2 $ g \geq 2k-1 $ のとき、軌道 $ |k\{0_A\}| $ は可算であり、多様体に $ k $-ゴノリティー曲線が存在しないか？
• RQ3 次数 $ k $ の正次元正規化軌道の集合 $ Z_A \subset A $ は次元が高々 $ k-1 $ か？
• RQ4 定理 0.1 の不等式 $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ は、$ g \geq 2k-1 $ に改善可能か？
• RQ5 $ g \geq 2k-1 $ のとき、任意の $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ に対して $ D^k $ は $ \mathrm{CH}^g(A) $ 内で非 torsion か？

主な発見

• 任意のアーベル多様体 $ A $ に対して、有理同値関係の下での次数 $ k $ ゼロサイクルの軌道 $ |Z| \subset A^{(k)} $ は、次元が高々 $ k-1 $ である。
• 次元 $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ の非常に一般なアーベル多様体 $ A $ に対して、次数 $ \leq k $ の正次元の軌道は存在せず、被覆ゴノリティーが少なくとも $ k+1 $ であることが示される。
• $ g \geq 2k-1 $ のとき、軌道 $ |k\{0_A\}| $ は可算である。これは $ A $ に $ k $-ゴノリティー曲線が存在しないことを意味する。
• $ g \geq 2k-1 $ のとき、任意の $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ に対して $ D^k $ は $ \mathrm{CH}^g(A) $ 内で torsion でない。これはチャウ環内での非自明性を示す。
• 次元の上限 $ \leq k-1 $ は最適であり、楕円曲線や $ E \times B $ のような積多様体で等号が成立する。
• $ Z_A $ である正次元正規化軌道の集合は、次元が高々 $ k-1 $ であると予想される。$ g \geq 2k-1 $ のときその空集合性は予想 0.2 の成立を示唆する。