[論文レビュー] Chromatic Numbers of Exact Distance Graphs

Jan van den Heuvel, H. A. Kierstead+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、一般化彩色数を用いた簡略化された証明により、正確な距離-p グラフ G[♮p] の彩色数を評価する。奇数 p に対しては、χ(G[♮p]) が G の弱 (2p−1)-彩色数によって有界であり、偶数 p に対しては、弱 (2p)-彩色数に最大次数を乗じたものによって有界である。主な貢献は、平面的および Kt-minor-free グラフを含む有界拡張性を示すグラフにおいて、従来の結果よりも著しく改善され、より明確な境界を示したことである。

ABSTRACT

For any graph $G=(V,E)$ and positive integer $p$, the exact distance-$p$ graph $G^{[ atural p]}$ is the graph with vertex set $V$, which has an edge between vertices $x$ and $y$ if and only if $x$ and $y$ have distance $p$ in $G$. For odd $p$, Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez proved that for any fixed graph class with bounded expansion, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by an absolute constant. Using the notion of generalised colouring numbers, we give a much simpler proof for the result of Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez, which at the same time gives significantly better bounds. In particular, we show that for any graph $G$ and odd positive integer $p$, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by the weak $(2p-1)$-colouring number of $G$. For even $p$, we prove that $\chi(G^{[ atural p]})$ is at most the weak $(2p)$-colouring number times the maximum degree. For odd $p$, the existing lower bound on the number of colours needed to colour $G^{[ atural p]}$ when $G$ is planar is improved. Similar lower bounds are given for $K_t$-minor free graphs.

研究の動機と目的

• 有界拡張性を示すグラフにおける正確な距離-p グラフの彩色数が有界であることを、より簡単かつきめ細かく証明すること。
• Nešetřil と Ossona de Mendez の元々の結果と比較して、奇数 p および偶数 p における χ(G[♮p]) の上界を改善すること。
• 一般化彩色数および最大次数を用いた明示的な彩色数の境界を確立すること。
• 特に奇数 p に対して、平面的および Kt-minor-free グラフにおける χ(G[♮p]) の下界を改善すること。
• 偶数距離を持つ正確な距離グラフの彩色境界に関する未解決の問題に、構造的パラメータとの依存関係を含めて対処すること。

提案手法

• 著者らは、奇数 p に対しては弱 (2p−1)-彩色数、偶数 p に対しては弱 (2p)-彩色数を用い、χ(G[♮p]) を有界化する。
• 一般化彩色数に基づく頂点の順序付けと正確な距離-p グラフの構造との間の関係を確立する。
• 奇数 p に対しては、弱 (2p−1)-彩色数が有界であるような任意の頂点順序が、その彩色数によって有界な色数で G[♮p] を正しく彩色できることを証明する。
• 偶数 p に対しては、χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G) を示し、彩色数と最大次数の両方と関連付ける。
• 極値的構成を用いて、平面的および Kt-minor-free グラフにおける χ(G[♮p]) の改善された下界を導出する。
• 特定のグラフ族（例：外部平面的、平面的）を分析し、例を構築することで、境界のタイトさを示す。特に、Godd に対して任意に大きな彩色数を持つグラフを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界拡張性を示すグラフにおける正確な距離-p グラフ G[♮p] の彩色数は、一般化彩色数の関数として有界にできるか？
• RQ2 奇数 p に対して、彩色数や最大次数といった構造的パラメータを用いて、χ(G[♮p]) の最良の可能な上界は何か？
• RQ3 偶数 p に対して、G[♮p] の彩色数はどのように振る舞い、彩色数と Δ(G) を用いて有界にできるか？
• RQ4 平面的および Kt-minor-free グラフにおける奇数 p に対して、χ(G[♮p]) の最もタイトな既知の下界は何か？
• RQ5 すべての平面的グラフ G に対して χ(Godd) ≤ f(ω(Godd)) となる関数 f が存在するか？ここで Godd はすべての奇数距離エッジを含む。

主な発見

• 任意のグラフ G と奇数 p に対して、χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p−1}(G) が成り立ち、これは従来の結果よりもはるかにきめ細かい境界を提供する。
• 偶数 p に対しては、χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G) が成り立ち、彩色数と最大次数を用いた新しい明示的境界を確立する。
• 平面的グラフに対しては、χ(G[♮3]) ≤ 105 であり、χ(G[♮3]) = 7 である平面的グラフが存在し、上界および下界の両方が改善された。
• 外部平面的グラフに対しては、χ(G[♮3]) ≤ 10 であり、χ(G[♮3]) = 5 である外部平面的グラフが存在する。
• 著者らは、t ≥ 4 に対して χ(G[♮3]) ≥ 2(t−2)+1 を満たす Kt-minor-free グラフを構成し、彩色数が t に対して線形に増加しうることを示した。
• 著者らは、ω(Godd) が大きくても、外部平面的グラフにおいて χ(Godd) が任意に大きく取りうることを示し、Godd の彩色数をクリーク数の観点から有界化する難しさを強調した。